Krümmung einer Kurve mit euklidischer Bewegung [Differentialgeometrie]

01.11.2010, 23:52

elenak

Krümmung einer Kurve mit euklidischer Bewegung [Differentialgeometrie]

Hallo zusammen!
Folgende Aufgabe:

Sei c eine ebene nach Bogenlänge parametrisierte Kurve. Sei F \in E(2) eine orientierungserhaltende euklidische Bewegung, F(x)=Ax+b mit A \in SO(2) und b \in \mathbb R .
a) Zeigen Sie, dass F "nach" c dieselbe Krümmung hat wie c.
b) Was geschieht bei einer orientierungsmumkehrenden euklidischen Bewegung F?

Zunächst fehlt mir einmal die Vorstellung, was eine solche euklidische Bewegung mit der Kurve c macht. Dreht die die Kurve wie sie ist im Raum? Denn SO(2) ist doch die Drehgruppe.

Die Krümmung k ist
c..(t)=k(t) \cdot n(t)
Dabei meine ich mit "c..", dass die 2 punkte auf dem c sind. Das c.. ist dann die Ableitung der Tangente "c." in t wenn ich das richtig verstanden hab und ein vielfaches von der Normalen n(t).

Jetzt muss ich erstmal schlafen gehn, ich schreib dann mal morgen weiter.
Aber hab ich das bis hier hin richtig verstanden?

Danke schonmal und viele Grüße,
Elena

02.11.2010, 10:11

Cel

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RE: Krümmung einer Kurve mit euklidischer Bewegung [Differentialgeometrie]

Zitat:

Original von elenak
Die Krümmung k ist
c..(t)=k(t) \cdot n(t)

Das ist nicht möglich. Nach Definition ist die Krümmung eine skalare Funktion.

Es kommt jetzt darauf an, was du weißt.

Es gilt $\begin{eqnarray*} \kappa(t) := \frac{\det(c'(t), c''(t))}{\|c'(t)\|^3} \end{eqnarray*}$ . Wenn du das weißt, dann gehen beide Aufgaben ganz schnell. Wenn du es nicht weißt, kannst du es recht schnell mit den Frenetgleichungen in der Ebene zeigen.

Ansonsten könntest du auch diese Behauptung für allgemeine Räume zeigen. Ich empfehle dir aber, die obige Gleichung zu zeigen.

02.11.2010, 11:35

Ehos

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Anschaulich sollst du folgendes zeigen:

Auf dem Tisch liegt ein Stück Draht, der irgendwie krumm gebogen ist (aber eben). Wenn du diesen Draht auf dem Tisch bewegst (also beliebig drehst und beliebig verschiebst), dann hat dies keinerlei Auswirkung auf die Form des Drahtes (also auf dessen Krümmung). Würde man den Draht dabei jedoch verbiegen, dann ändert sich auch die Krümmung. Letzters wäre im mathematischen Sinn keine "Bewegung" mehr.

Anschaulich ist dies eine klare Sache.

Um diese einfache Tatsache auch formal zu beweisen, musst du die Kurve "nach" der Bewegung in die Krümmungsdefinition von CEL einsetzen und zeigen, dass dabei die gleiche Krümmung rauskommt wie bei der Kurve "vor" der Bewegung.

02.11.2010, 22:40

elenak

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Zuerst mal Danke für die Antworten! Das mit dem Draht ist gut!

Die Aufgabe ist aus nem Buch und davor sind eigentlich weder die Frenetschen Gleichungen noch die Definition für Krümmung von Cel genannt.
Die Krümmung wird eingeführt mit

(...) $\begin{eqnarray*} c'(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c''(t) \end{eqnarray*}$ stehen senkrecht aufeinander. Somit ist $\begin{eqnarray*} c''(t) \end{eqnarray*}$ ein Vielfaches des Normalenvektors $\begin{eqnarray*} n(t) \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} c''(t) = \kappa (t) \cdot n(t) \end{eqnarray*}$
Die Funktion $\begin{eqnarray*} \kappa : I \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ heißt Krümmung von c.

Die Normale ist davor definiert als
$\begin{eqnarray*} n(t):=\bigl( \begin{smallmatrix} 0&-1 \\ 1&0 \end{smallmatrix} \bigr) \cdot c'(t) \end{eqnarray*}$

Also sollte ich damit doch die Aufgabe lösen können.
Habs jetzt aber doch mal mit Cels Definition probiert, denn die soll in der Aufgabe danach gezeigt werden. Ich fang mal an mit den Ableitungen:
$\begin{eqnarray*} (F \circ c)'(t) = F'(c(t)) \cdot c'(t) = A \cdot c'(t) \end{eqnarray*}$ (oder doch ... $\begin{eqnarray*} =A c'(t) \cdot c'(t) \end{eqnarray*}$ ? Denn $\begin{eqnarray*} F(x)=Ax+b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F'(x)=A \end{eqnarray*}$ aber was ist dann mit der inneren Ableitung?)
$\begin{eqnarray*} (F \circ c)''(t) = (A \cdot c'(t))' = A \cdot c''(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \kappa (t) = \frac {det(Ac'(t), Ac''(t))} {\|Ac'(t)\|^3} \end{eqnarray*}$
jetzt weiß ich, wie so ne Drehmatrix A mit cos und sin idR aussieht und dass die immer orthogonal sind und det(A)=1. Hilft mir das hier, dass ich das A im Zähler und Nenner irgendwie rausziehen kann? Das Problem ist ja, dass es oben drin steht und als Produkt mit den "Zeilenvektoren" c' und c''...

und wenn ich dann zu der orientierungsumkehrenden eukl. Bewegung F komme - die müsste ja irgendwie das Vorzeichen von c ändern.
Wäre das dann also sowas wie $\begin{eqnarray*} F(x)=-(Ax+b) \end{eqnarray*}$ ?

PS: ganz schön anstrengend mit dem Latex so als Anfänger! macht aber auch irgendwie spaß, wenn da so ne schöne Formel steht am Ende! smile

03.11.2010, 09:07

Ehos

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Mal ein Tipp:

Angenommen, du hast eine Determinante von n Vektoren, alo $\begin{eqnarray*} det(\vec x_1, \vec x_2,...,\vec x_n) \end{eqnarray*}$ . Wenn du alle Vektoren mit der Drehmatrix A drehst, ergibt sich die Determinante $\begin{eqnarray*} det(A\vec x_1, A\vec x_2,...,A\vec x_n) \end{eqnarray*}$ . Beide Determinanten sind gleich, denn für beliebieg Matrizen A,X gilt det(AX)=det(A)det(X). Dabei sind die Zeilen der Matrix X gerade die n Vektoren und die Matrix A ist die Drehung. Für letztere geilt bekanntlich det(A)=1, so dass insgesamt folgt det(AX)=det(X) - also die Invarianz der Determinante gegenüber Drehungen.

Anschaulich ist klar, dass sich die Determinante bei Drehungen nicht ändert, denn die Determinante von n Vektoren ist geometrisch das Volumen des n-dimensionalen "Parallelogrammes", das diese Vektoren aufspannen. Es ist aber klar, dass das Volumen eines Körpers gleich bleibt, wenn man den Körper irgendwie im Raum dreht oder verschiebt.

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