Binomische Satz mit vollständiger Induktion

02.11.2010, 09:16

xXxLaliluxXx

Binomische Satz mit vollständiger Induktion

Meine Frage:
Wäre lieb wenn ihr mir helfen könntet ^^

Also: Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: $\begin{eqnarray*} \forall \ n \in \mathbb N 0 \end{eqnarray*}$ und alle Zahlen a,b gilt:

$\begin{eqnarray*} (a+b){n} = \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}a^{k}b^{n-k} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Also ich dachte mir dass ich ganz normal mit n=0 beginne. (Für meinen Indurktionsanfang). Bei meinem Induktionsschritt habe ich normal mit n->n+1 begonnen. Doch irgendwie klappt das nicht so ganz. :S Nachdem ich mein n+1 eingesetzt habe, komme ich einfach nicht mehr voran...

02.11.2010, 09:40

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Binomische Satz mit vollständiger Induktion
Das sollte wohl $\begin{eqnarray*} (a+b)^n = \sum\limits_{k=0}^n \binom n k a^{k}b^{n-k} \end{eqnarray*}$ sein.

Schreibe mal den Anfang deiner Rechnung hin und dann sehen wir weiter.

02.11.2010, 10:13

xXxLaliluxXx

Auf diesen Beitrag antworten »

ah ja mist...danke smile

sooo, zu erst mein I Anfang:

n=0
$\begin{eqnarray*} (a+b)^{0} = \sum\limits_{k=0}^0 \begin{pmatrix} 0 \\k \\ \end{pmatrix}b^{0-k}a^{k} =1 \end{eqnarray*}$

Und dann mein I Schritt:
n->n+1

$\begin{eqnarray*} (a+b)^{n+1}=(a+b)^{n}a+(a+b)^{n}b (a+b)^{n}a= \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} b^{n+1-k}a^{k} = \sum\limits_{k=0}^{n+1}\begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} b^{n+1-k}a^{k} \end{eqnarray*}$

jetzt weiß ich leider nicht wie ich weiter machen soll.... ist es bis jetzt überhaupt richtig???

02.11.2010, 10:29

crb

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \text{Versuch es mal mit }\left(a+b\right)^{n+1}= \left(a+b\right)*\left(a+b\right)^{n} \text{anstatt}(a+b)^{n+1}=(a+b)^{n}a+(a+b)^{n}b \end{eqnarray*}$ .
=)

02.11.2010, 10:57

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von xXxLaliluxXx
$\begin{eqnarray*} (a+b)^{n}a= \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} b^{n+1-k}a^{k} = \sum\limits_{k=0}^{n+1}\begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} b^{n+1-k}a^{k} \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht, was du rechnen wolltest, aber das ist jedenfalls falsch.

Und ein Tipp: in Latex gehen Binomialkoeffizienten mit \binom{n}{k}

02.11.2010, 11:23

xXxLaliluxXx

Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich wollte den Induktionsschritt machen mit n+1...aber hab mir schon gedacht dass es, so wie ich es gemacht habe falsch ist. Ich habe zwar das Forster Buch aber da kann ich nicht jeden Schritt nachvollziehen, wodurch ich bei dieser Aufgabe meine Probleme habe -.-
Ah danke. Ist das erste mal das ich hier eine Aufgabe poste ^^'

@crb: ui okay, das mache ich mal. smile

02.11.2010, 11:28

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von xXxLaliluxXx
ja ich wollte den Induktionsschritt machen mit n+1...aber hab mir schon gedacht dass es, so wie ich es gemacht habe falsch ist.

Vom Ansatz ist es prinzipiell ok. Du mußt nur richtig rechnen.

Was ist denn $\begin{eqnarray*} a \cdot (a+b)^n \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von xXxLaliluxXx
@crb: ui okay, das mache ich mal. smile

Und was sollte das bringen im Unterschied zu dem, was Lalilux sowieso schon geschrieben hat?

02.11.2010, 11:56

crb

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist einfach nur ein anderer Ansatz. Manchmal hilft es, die Dinge umzuschreiben, um sie besser zu verstehen. =)

Neue Frage »

Antworten »

Binomische Satz mit vollständiger Induktion

Verwandte Themen