Mächtigkeit Beweis

02.11.2010, 12:48

wirtschaftsmathe

Mächtigkeit Beweis

Also folgende Aufgabe
beweisen sie : $\begin{eqnarray*} | \mathbb N |=|\left\{ n\in \mathbb N :n gerade\right\} | \end{eqnarray*}$

Also ich habe jetzt immerhin schon einmal herausgefunden dass $\begin{eqnarray*} f:\mathbb N \Rightarrow M \end{eqnarray*}$ bijektiv sein muss.

Allerdings ist meine Überlegung ob ich jeweil 2 Terme als Art Funktionsvorschrift finde mit denen ich dann allgemein die INjektivität und Surjektivität beweisen kann.........was wäre ein allgemeiner term für die natürlichen Zahlen??
Oder ist meine Idee falsch??

02.11.2010, 13:02

tigerbine

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RE: Mächtigkeit Beweis
Wie kann man auf sehr einfache Weise zu jeder natürlichen Zahl eineindeutig eine ungerade Zahl erzeugen...Mit dem gleichen Trick macht man das mit den geraden Zahlen.

02.11.2010, 13:40

wirtschaftsmathe

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RE: Mächtigkeit Beweis
n und 2n oder n und 2n-1 also Zuordnung von n auf 2n??? Ist mit dieser Zuordnung rechnerisch die Möglichkeit vorhanden Injektivität und Surjektivität zu beweisen und wenn ja muss ich dies nicht noch vorher mathematisch definieren wenn ja wie??

02.11.2010, 13:44

tigerbine

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RE: Mächtigkeit Beweis
Was weißt du denn über natürliche Zahlen.

02.11.2010, 13:46

wirtschaftsmathe

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Naja dass die 1 nicht definiert ist für die Nachfolgerfunktion der Peano Axiome....und dass die Mächtigkeit abzählbar endlich ist.
Wir haben die natürlichen Zahlen in Ana 1 noch nicht behandelt sondern gehen gerade noch mit allgemeinen Begriffen um wie Relationen, Kardinalität.....

02.11.2010, 14:01

tigerbine

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Du kannst hier die Funktionsvorschrift einfach umkehren.
http://wwp.mathematik.hu-berlin.de/~mrw/tekno/2.html

02.11.2010, 14:14

wirtschaftsmathe

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Ja ok aber wenn man das im allgemeinen Beweisen will langt es dann praktisch wenn ich von den natürlichen Zahlen auf die geraden Zahlen eine bijektive Abbildung nachweise und umgekehrt für die geraden Zahlen auf die natürlichen zahlen?? als Implikationsbeweis aus einer Äquivalenz heraus??

02.11.2010, 14:26

tigerbine

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Verstehe nun nicht, was du meinst. Für eine Bijektion reicht doch in Fall aus.

02.11.2010, 15:00

wirtschaftsmathe

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also ist der Anfang dieses beweis auch formal gesehen (was in der Mathematik ja das Wichtigste mit ist) korrekt?

Behauptung: $\begin{eqnarray*} |\mathbb N | =| \left\{ n\in \mathbb N :n gerade\right\} | \end{eqnarray*}$

Beweis: $\begin{eqnarray*} M:=\left\{ n\in \mathbb N :n gerade\right\} :=\left\{ n\in \mathbb N :2n\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

z.Z: $\begin{eqnarray*} f:\mathbb N \Rightarrow M \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n\Rightarrow 2n als Bijektion \end{eqnarray*}$

......(und dann würde ich versuchen anhand der Zuordnungsvorschrift versuchen Surjektivität und Injektivität zu beweisen??)

02.11.2010, 15:04

tigerbine

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Zitat:

Sind $\begin{eqnarray*} f : A \rightarrow B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g : B \rightarrow A \end{eqnarray*}$ zwei Funktionen mit den Eigenschaften
$\begin{eqnarray*} f(g(x)) = x \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in B, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(f(x)) = x \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in A, \end{eqnarray*}$
dann sind beide Funktionen bijektiv und g ist die Umkehrfunktion von f.

02.11.2010, 15:09

wirtschaftsmathe

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müsste ich also mit 2 Funktionen hantieren:

$\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ : n -> 2n

$\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ x -> $\begin{eqnarray*} \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$

02.11.2010, 15:15

tigerbine

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ja.

02.11.2010, 15:18

wirtschaftsmathe

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danke jetzt müsste ich es normalerweise hinkriegen.....vielen Dank mochmal.....am Anfang Uni ist für Schüler immer schwer...^^

02.11.2010, 15:22

tigerbine

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Interessanter ist hier eigentlich, dass obwohl du nur jede Zweite Zahl nimmst, die Mengen doch gleichmächtig sind. Das ist ein Phänomen der Unendlichkeit. Kannst dir mal Hilberts Hotel anschauen und Begriffe wie "abzählbar unendlich" und "überabzählbar unendlich".

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