Anfangswertproblem mit eigenvektormethode?

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02.11.2010, 13:35	Einheit21	Auf diesen Beitrag antworten »
Anfangswertproblem mit eigenvektormethode? Meine Frage: hoffe ich bin im richtigen forum schäm Also, folgendes, wir haben als Angabe: "Lösen Sie folgendes Anfangswertproblem mit der Eigenwert-Eigenvektormethode" $\begin{eqnarray} x'(t)= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -6 \end{pmatrix}x(t)<br /> Randbedingung<br /> x(0) = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: jetzt kann ich prinzipiell Randwertprobleme ja lösen, mittels seperation der Variablen usw. UND ich kann Differentialgleichungssysteme mittels Eigenwert-Eigenvektormethode lösen. Nur: Integriere ich bei der Eigenwert-Eigenvektormethode ja nicht, habe daher kein c und brauche daher eig. keine Randbedingung... habe nen Lösungsweg für diese Aufgabenstellung (ka ob richtig) aber bei der verwende ich die Randbedingung eben garnicht... hoffe irgendwer kennt sich da besser aus und kann mir eventuell nen Tipp geben^^
02.11.2010, 14:14	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem mit eigenvektormethode? Bestimme mittels der Eigenwerte der Matrix ein Fundamentalsystem für die DGL.
02.11.2010, 14:21	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Deiner Frage entnehme ich, dass du noch nichts von der Lösung gewöhnlicher Differentualgleichungssysteme gehört hast. Ich skizziere mal kurz, wie das prinzipiell geht: Zu lösen ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \dot x_1 \\ \dot x_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mache folgenden Ansatz mit noch unbekanntem $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} =e^{\lambda \cdot t} \begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Einsetzen und anschließende Division durch $\begin{eqnarray} e^{\lambda \cdot t} \end{eqnarray}$ führt zu $\begin{eqnarray} \lambda \cdot \begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das ist ein Eigenwertproblem für die 2x2-Matrix. Dieses kann man wie folgt als homogenes Gleichungssystem auffassen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 4 & -6-\lambda \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ein homogenes Gleichungssystem hat nur eine nichttriviale Lösung, wenn die Determinanten verschwindet. Gesucht sind also diejenigen $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ , für die gilt $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 4 & -6-\lambda \end{vmatrix}=0 \end{eqnarray}$ Das ist eine quadratische Gleichung mit den Lösungen $\begin{eqnarray} \lambda_1, \lambda_2 \end{eqnarray}$ . (Berechnen!) Für jeden Eigenwert erhalten wir einen Eigenvektor: $\begin{eqnarray} \lambda_1: \begin{pmatrix} d_{11} \\ d_{12} \end{pmatrix}\,\,\, \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \,\,\,\lambda_2: \begin{pmatrix} d_{21} \\ d_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wir haben also zwei einzelne Ansätze (Siehe oben die 2.Formel). Da die Differentialgleichung linear ist, ist jede Linearkombination beider einzelner Ansätze wiederum Lösung. Der "Gesamt"-Ansatz lautet also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} =C_1\cdot e^{\lambda_1 \cdot t} \begin{pmatrix} d_{11} \\ d_{12} \end{pmatrix}+C_2\cdot e^{\lambda_2 \cdot t} \begin{pmatrix} d_{21} \\ d_{22} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die noch unbekannten Konstanten C1, C2 ergeben sich durch Befriedung der Anfangsbedingungen.
02.11.2010, 14:24	Einheit21	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anfangswertproblem mit eigenvektormethode? hab ich, bekomm ich $\begin{eqnarray} x(t)= c_{1}e^{2t}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + c_{2}e^{-7t}\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
02.11.2010, 14:30	Einheit21	Auf diesen Beitrag antworten »
danke ehos - aber du hast meine Frage nicht richtig verstanden - wie ich geschrieben hab weiß ich prinzipiell wie ich auf das Fundamentalsystem komme, mein eig. "Problem" ist die unterscheidung zwischen "Lösen sie das Anfangswertproblem" und "Lösen sie die Differentialgleichung". Das ich mit der Randbedingung die C's ausrechnen könnte, hätte mir allerdings auch einfallen können -.- aber ich hab ja bei meinen e^... noch ein "t" als hochzahl... bekomm ich dann c's die von t abhängig sind?? Und um auf das eigentliche Problem zurück zu kommen: Wenn ich normalerweise (mit anderen Methoden) ein Anfangswertproblem löse brauch ich für die lösung ein x(t) und ein y(t)... bekomm ich das in dem Fall einfach durch die Aufspaltung meines Fundamentalsystems in die x und die y Zeile ??
02.11.2010, 14:32	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe das nicht nachrechnet. Wenn deine Lösung stimmt, wäre der nächste Schritt wie folgt: Setze auf der linken Seite deiner Lösung die Anfangsbedingung ein, also den Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Auf der rechten Seite deiner Lösung musst du dann t=0 setzen. Das führt auf ein Gleichungssystem für $\begin{eqnarray} C_1, C_2 \end{eqnarray}$ Übrigens: Die Aufgabe war kein Randwertproblem, sondern ein Anfangswertproblem.
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02.11.2010, 14:46	Einheit21	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt depp ich - für t natürlich 0 einsetzen... okay, und dann hab ich für x(t) die obere Zeile meines Fundamentalsystems und y(t) die untere, richtig??
02.11.2010, 14:52	Einheit21	Auf diesen Beitrag antworten »
steht eh Anfangswertproblem in der Überschrift^^
02.11.2010, 15:02	Einheit21	Auf diesen Beitrag antworten »
habe jetzt die gleichung aufgestellt, zeilenweise ausgerechnet und je einen Wert für c1 und c2 raus bekommen. Letzte Frage: Wenn ich die jetzt in mein Fundamentalsystem einsetze kann ich das dann einfach stehen lassen als DIE Lösung des Anfangswertproblems? Weil wie gesagt: Wenn wirs via eliminationsverfahren gerechnet haben mussten wir dann noch ein y(t) berechnen, aber mein fund.sys. ist ja schon ein Vektor mit (x y)... Is das also so fertig??
02.11.2010, 15:14	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, wenn du die C1, c2 in deine allgemeine Lösung einsetzt, ist das die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems. Die Zeitabhängigkeit steckt nur in den Exponenten der e-Funktion.
02.11.2010, 15:19	Einheit21	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, danke

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