Folge der Spuren der Potenzen der Matrix A

02.11.2010, 14:15

Geolin

Folge der Spuren der Potenzen der Matrix A

Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich sitze an folgender Aufgabe und komme nicht weiter:

Wir betrachten die Matrix:

$\begin{eqnarray*} <br /> A= \begin{pmatrix} -17 & 30 & 10 \\ -16 & 30 & 11 \\ 16 & -32 & -11 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

und die Folge $\begin{eqnarray*} a: N -> Z \end{eqnarray*}$ der Spuren der Potenzen von A, also $\begin{eqnarray*} a_{n} = tr(A^{n}) \end{eqnarray*}$

(i) Geben Sie eine explizite Formel für die Folge a an!
(ii) Zeigen Sie die Implikation n ist Primzahl $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ n teilt $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ (Hinweis: Der Kleine Fermat wird oft in der Form ap $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ a mod p angegeben.)
(iii) Gilt für natürliche Zahlen n $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 2 auch die Umkehrung der Aussage (ii)?

Meine Ideen:
ich hänge noch bei (i) und habe keine richtige idee wie ich das ganze aufschreiben soll... Ich weiss wie Matrizen multipliziert werden und könnte auch die Spur von $\begin{eqnarray*} A^{n} \end{eqnarray*}$ für ein festes n bestimmen, aber ich habe keine genaue Idee wie ich das in einer Formel zusammenfassen soll. Besonders, da das ganze rekursiv ist.

02.11.2010, 14:24

Mazze

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Zitat:

Besonders, da das ganze rekursiv ist.

Wo soll denn da eine Rekursion sein?

Eine Möglichkeit ist folgende : Die Spur bleibt unter Ähnlichkeit gleich, und da deine Matrix A diagonalisierbar ist (in C), bestimme die Eigenwerte von A, und stelle die Diagonalmatrix auf. Die n-te Potenz von Diagonalmatrizen ist leicht auszurechnen, und damit dann auch die Spur.

02.11.2010, 15:36

Geolin

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habe jetzt rausbekommen dass die Eigenwerte 3, -2, -1 sind. Verstehe aber den Rest der Vorgehensweise nicht so richtig. Hat die Diagonalmatrix jetzt einfach die EW auf der Hauptdiagonalen ? Und ist es zwangsläufig so, dass die Ursprungsmatrix dazu dann ähnlich ist? Wenn ja, dann wäre glaube ich $\begin{eqnarray*} tr(A^{n}) = 3^{n} * -2^{n} * -1^{n} \end{eqnarray*}$

02.11.2010, 18:25

Geolin

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ach meine EW sind übrigens -3, +2, +1 und in der formel für die spur muss es natürlich + statt * heißen:

$\begin{eqnarray*} tr(A^{n})=(-3)^{n} + 2^{n} + 1^{n} \end{eqnarray*}$

sollte das so richtig sein, stehe ich bei (ii) leider wieder ziemlich auf dem schlauch... Ich hoffe es kann mir jemand helfen.

02.11.2010, 19:48

kiste

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Du darfst doch $\begin{eqnarray*} a^n \equiv a \mod n \end{eqnarray*}$ nutzen falls n prim ist. Damit sieht man doch bereits die Teilbarkeit durch n, falls n prim.

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