Abbildung stetig/glm. stetig

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02.11.2010, 16:22	axelpeters14	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildung stetig/glm. stetig Meine Frage: Hallo.Man soll nachprüfen,ob folgende Abb. stetig/glm.stetig ist: $\begin{eqnarray} <br /> Q:K ^{n}->K ,x->Q(x):=<x,Ax> \end{eqnarray}$ mit A = nxn Matrix und der euklidischen Norm auf K. Meine Ideen: meine idee wäre glm stetigkeit durch lipschitz-stetigkeit zu zeigen,falls sie das auch ist^^ist es richtig,dass ich dann folgende abschätzung zeigen muss :\|<x,Ax>-<y,Ay>\| <= L\|x-y\| wobei \|...\| die euklidische norm darstellt??würde es sinnmachen das zu probieren bin da nicht so erfahren..danke
02.11.2010, 22:48	axelpeters14	Auf diesen Beitrag antworten »
hat da jemand nen tipp für mich ob meine idee gut ist oder ob man da anders herangehen sollte??
02.11.2010, 22:57	BanachraumK_5	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit Cauchy Schwarz müsste es klappen: http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Schwarzsche_Ungleichung
03.11.2010, 10:34	axelpeters14	Auf diesen Beitrag antworten »
ja genau die wollte ich auch verwenden: nur zum schluss habe ich jetztz ein quadrat stehen was mache ich damit? \|<x,Ax>-<y,Ay>\| = \|A<x,x>-A<y,y>\| = A\|<x,x>-<y,y>\| = A\|<x-y,x-y>\| <= A\|\|x-y\|\|² = A\|x-y\|² = A\|x-y\| \|x-y\| ist da nun nicht ein betrag zu viel für die abschätzung..oder könnte mein "L" dieses A\|x-y\| sein?lg und vielen dank
03.11.2010, 10:57	axelpeters14	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich die matrix vorziehe muss ich ihr betragsstriche geben..weil normalerweise muss ich ja nem skalar betragsstriche setzen wenn ich ihn aus der norm ziehe
03.11.2010, 16:09	BanachraumK_5	Auf diesen Beitrag antworten »
Hä? Also Sie wollen die Matrix vors Skalarprodukt ziehen? Wie das funktionieren soll verstehe ich noch nicht. Es gilt aber die elementare Ungleichung $\begin{eqnarray} \vert <x,Ax> \vert \le \Vert x \Vert \cdot \Vert Ax \Vert = \Vert A \Vert_{Op} \Vert x \Vert^2 \end{eqnarray}$ Dann kann man leicht ein L finden.. ;-) Also $\begin{eqnarray} \vert <x,Ax> - <y,Ay> \vert \le ... \le \Vert x-y \Vert \Vert Ax \Vert + \Vert Ax-Ay \Vert \Vert y \Vert \end{eqnarray}$
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03.11.2010, 16:40	axelpeters14	Auf diesen Beitrag antworten »
ich komme da auf die abschätzung ..<= \|\|x-y\|\| \|\|Ax-Ay\|\| ich weiß nicht wie du auf deine abschätzung kommst ich habe die linearität ausgenutzt und dann cauchy schwarz
03.11.2010, 19:00	BanachraumK_5	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} \vert <x,Ax> - <y,Ay> \vert \le \vert <x-y,Ax> + <y,Ax-Ay> \le \Vert x-y \Vert \Vert Ax \Vert + \Vert Ax-Ay \Vert \Vert y \Vert \end{eqnarray}$ Stetigkeit des Skalarproduktes!
03.11.2010, 20:18	axelpeters14	Auf diesen Beitrag antworten »
ok gut und wie bekomme ich das in die form L \|x-y\|? denn dieser zusätzliche summand stört ich kann das ja jetzt nicht mehr abschätzen mit <=
03.11.2010, 21:06	BanachraumK_5	Auf diesen Beitrag antworten »
Zieh doch einfach das x-y in der Norm raus und der Rest ist dann dein L.
03.11.2010, 21:50	axelpeters14	Auf diesen Beitrag antworten »
woher nimmst du diese umformung eigentlich da am anfang mit den ganzen <= wo du was von stetigkeit geschrieben hast..ich finde dazu nirgendwo etwas ich kann mir diese abschätzungen da nicht erklären sorry
05.11.2010, 22:26	BanachraumK_5	Auf diesen Beitrag antworten »
Nutze die Linearität des Skalarproduktes in den beiden Variablen denn man kann schreiben: $\begin{eqnarray} \vert <x,Ax> - <y,Ay> \vert = \vert <x,Ax> - <y,Ay> - <y,Ax> + <y,Ax> \end{eqnarray}$ Das kleiner gleich müsste im ersten Schritt ein = sein.

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