Einheitsvektor

13.11.2006, 15:22

chris85

Einheitsvektor

Ich soll den Einheitsvektor in Richtung der Summe von $\begin{eqnarray*} \vec{a}= \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Die Summe aus beiden Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{(a+b)} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \vec{(a+b)}= \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ein Einheitsvekor ist doch $\begin{eqnarray*} \vec{|e|}=1 \end{eqnarray*}$ , bzw. hat die Länge 1.

ICh denke aber nicht dass ich die Länge des Vektors $\begin{eqnarray*} \vec{(a+b)} \end{eqnarray*}$ wie üblich ausrechnen kann: $\begin{eqnarray*} \sqrt{3²+6²+(-2)²} \end{eqnarray*}$ =Länge des Vektors
Da das Ergebnis aber 7 ergeben würde und nicht 1 wie für einen Einheitsvektor bestimmt müsste man die Wurzel noch durch 7 teilen sodass man als Ergebnis für den Einheitsvektor: $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{3²+6²+(-2)²} } {7} \end{eqnarray*}$ hätte.Kann mir aber nicht vorstellen dass das richtig ist.
Wie ist es denn korrekt?

13.11.2006, 15:24

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von chris85
Da das Ergebnis aber 7 ergeben würde und nicht 1 wie für einen Einheitsvektor bestimmt müsste man die Wurzel noch durch 7 teilen sodass man als Ergebnis für den Einheitsvektor: $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{3²+6²+(-2)²} } {7} \end{eqnarray*}$ hätte.

Das ist kein Einheitsvektor, sondern das ist eine Zahl. Du meinst aber das richtige, du musst es nur noch umsetzen.

Gruß MSS

13.11.2006, 15:55

chris85

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Ja du hast recht dass das eine Zahl ist. Der Einheitsvektor ist ja auf jeden Fall 1, so ist er ja definiert. Ich bin gerade voll verwirrt. Kannst du mir schnell weiterhelfen

13.11.2006, 16:02

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls eine Zahl und kein Vektor!!!! Guck dir nochmal genau die Definition von "Einheitsvektor" an. Dann sehen wir weiter.

Gruß MSS

13.11.2006, 16:24

chris85

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$\begin{eqnarray*} \vec{|e|}=1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \vec{|a|} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac{\vec{a}} {a} \end{eqnarray*}$ Einheitsvektor

Stimmt doch oder? So wurde es mir zumindest aufgeschrieben!

13.11.2006, 19:26

David_pb

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Hi!

Den Vektor kannst du folgendermaßen Normalisieren.
$\begin{eqnarray*} \hat{a}=\vec{a}*\frac{1}{|\vec{a}|} = \vec{a}*\frac{1}{\sum_{i=0}^n~a_i^2} \end{eqnarray*}$

Danach ist der Betrag $\begin{eqnarray*} |\vec{a}|=1 \end{eqnarray*}$

grüße

13.11.2006, 19:34

Mathespezialschüler

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Das heißt "normieren" und nicht "normalisieren"! Augenzwinkern

Gruß MSS

13.11.2006, 19:36

David_pb

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Ich kenn das durchaus nur unter dem Begriff "Normalisieren" => Normalize. Wikipedia kennt beides. smile

13.11.2006, 21:17

chris85

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Sieht das dann so aus?

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \frac {1} {3²+6²-2²} \end{eqnarray*}$ ? nein oder? kann mir das mal jemand zeigen wie man das macht damit ich es das nächste mal selbst kann?

13.11.2006, 21:28

Mathespezialschüler

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Der Einheitsvektor von $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ ist der Vektor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{|\vec x|}\vec x \end{eqnarray*}$ . Jetzt musst du nur $\begin{eqnarray*} \vec x=\vec a+\vec b \end{eqnarray*}$ einsetzen.

Gruß MSS

13.11.2006, 21:51

chris85

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Also :

$\begin{eqnarray*} \vec{e} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} * \frac{1} {|\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix}|} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} =1 \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig wie ich das geschrieben habe? 1 bekommt man ja dann durch kürzen der Faktoren.

13.11.2006, 21:53

Mathespezialschüler

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Links steht ein Vektor, rechts im Nenner eine reelle Zahl, da kann man nichts kürzen!

Gruß MSS

13.11.2006, 22:00

David_pb

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Hi!

$\begin{eqnarray*} \hat{e}=\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{\sqrt{3^2+6^2+(-2)^2}} \end{eqnarray*}$

Dann ist:
$\begin{eqnarray*} |\hat{e}| = 1 \end{eqnarray*}$

grüße

13.11.2006, 22:18

chris85

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Danke für die Hilfe, habs jetzt dek mal kapiert. Das nächste Mal werd ich es bestimmt selbst hinbekommen. Freude

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