Potenzregeln beweisen

02.11.2010, 16:44	Ayten	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzregeln beweisen Hallo, zusammen. Ich kann die folgende Aufgabe nicht lösen. Kann mir jemand vielleicht helfen? Danke Es sei (G, ·) eine multiplikative Gruppe mit neutralem Element e und sei a \in G beliebig. Man setzt a_^{0} := e und fu r n \in \mathbb N per induktiver Definition a^{n} := a^{n−1}·a; ferner für m \in \mathbb Z, m<0: a^{m} := (a^ {−m} )^ {−1} .Dann ist a^ {k} fu r alle k \in \mathbb Z wohldefiniert. Zeigen Sie: Für alle m,n ∈ Z gilt: a^ {m+n} = a^ {m} a^ {n} = a^ {n} a^ {m}
02.11.2010, 17:07	Ayten	Auf diesen Beitrag antworten »
Es sei (G, ·) eine multiplikative Gruppe mit neutralem Element e und sei a $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ G beliebig. Man setzt $\begin{eqnarray} a^{0} \end{eqnarray}$ := e und für n $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ per induktiver Definition $\begin{eqnarray} a^{n} \end{eqnarray}$ := $\begin{eqnarray} a^{n} \end{eqnarray}$ a; ferner für m $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ , m<0: $\begin{eqnarray} a^{m} \end{eqnarray}$ := $\begin{eqnarray} (a^{-m} )^ {-1} \end{eqnarray}$ .Dann ist $\begin{eqnarray} a^ {k} \end{eqnarray}$ fu r alle k $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ wohldefiniert. Zeigen Sie: Für alle m,n $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ Z gilt: $\begin{eqnarray} a^ {m+n} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} a^ {m} a^ {n} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} a^ {n} a^ {m} \end{eqnarray}$ Jetzt sieht es besser aus
02.11.2010, 19:20	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Und nun? Eigene Ideen? Ansätze?
03.11.2010, 22:34	Ayten	Auf diesen Beitrag antworten »
wir wissen, dass $\begin{eqnarray} a^{0} \end{eqnarray}$ =e $\begin{eqnarray} a^{n} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} a^{n-1} a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a^{m} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} (a^{-m})^{-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a^{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a^{m} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} a^{n-1} a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (a^{-m})^{-1} \end{eqnarray}$ =( $\begin{eqnarray} a^{n-1} a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a^{0} \end{eqnarray}$ ) ( $\begin{eqnarray} (a^{-m})^{-1} \end{eqnarray}$ ) = ( $\begin{eqnarray} a^{n-1} a \end{eqnarray}$ ) ( $\begin{eqnarray} a^{m} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a^{-m} \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} (a^{-m})^{-1} \end{eqnarray}$ ))= $\begin{eqnarray} a^{n-1} a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a^{m} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a^{0} \end{eqnarray}$ aber weiter komm ich auch nicht

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