Orthogonalität von Ebenen

02.11.2010, 17:11	Archosauromorpha	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonalität von Ebenen Meine Frage: Also, ich hänge gerade an einer Aufgabe fest, und komme irgendwie nicht auf ein aussagekräftiges Ergebnis. Folgendes: Gegeben ist eine Ebene E: $\begin{eqnarray} 2x_{1}+2x_{2}+x_{3}=7 \end{eqnarray}$ und die Punkte A(2\|-1\|7) und B(0\|3\|9). Gesucht ist eine Ebene F die orthogonal zu E ist und durch die Punkte A und B geht. Meine Ideen: Lösungsansatz: 1. Normalenvektor von E und F müssen orthogonal sein: $\begin{eqnarray} \vec{n_{F}}\vec{n_{E}} \end{eqnarray}$ 2. Normalenvektor von F und Vektor AB muss orthogonal sein: $\begin{eqnarray} \vec{n_{F}}\vec{AB} \end{eqnarray}$ 3.Da Ebene F in der Form $\begin{eqnarray} n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+n_{3}x_{3}=b \end{eqnarray}$ darstellbar ist, gilt ferner mit A: $\begin{eqnarray} 2n_{1}-n_{2}+7n_{3}=b \end{eqnarray}$ 4. Das gleiche wie bei 3. nur mit B: $\begin{eqnarray} 3n_{2}+9n_{3}=b \end{eqnarray}$ So, jetzt habe ich vier Unbekannte und vier Gleichungen, kann also das LGS eindeutig lösen. Ich bekomme folgende Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 4 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 7 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & 9 & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Lasse ich diese mit dem GTR lösen, so bekomme ich folgendes Ergebnis: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0.66666 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -0.13333 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Man sieht, dass ich eine Unbekannte mit einem Parameter darstellen muss, es also unendlich viele Lösungen gibt. Doch wie kann das sein, die zwei Punkte die Orthogonalität müssten die Ebene F doch eindeutig festlegen, wieso dann hier diese Lösung? Wo liegt mein (Denk-)Fehler? Für eine Antwort wäre ich dankbar... :-)
02.11.2010, 20:17	andyrue	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonalität von Ebenen h@llo erstmal, ich hab mich eben hier registriert und nun meine erste antwort. also mein ansatz ist der: wenn ich vom punkt A (es könnte auch Punkt B sein, ich wähle hier willkürlich A) ein lot auf die gegebene ebene E fälle, bekomme ich den fußpunkt F dieser fußpunkt F ist der dritte punkt den ich brauche, um die ebenengleichung aufzustellen. das wars schon, das ganze jetzt im detail. 1. ich brauche die geradengleichung der geraden die durch A geht und die ebene E orthogonal schneidet. als stützvektor für diese gerade nehm ich den ortsvektor von A und als richtungsvektor den normalenvektor der ebene. $\begin{eqnarray} <br /> \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix}+ t\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ nun habe ich zwei gleichungen: die der ebene E und die der geraden g 2. ich rechne nun aus, wo die gerade g die Ebene schneidet - dieser punkt (bei uns heißt er fußpunkt F) ist der dritte punkt, den wir zum aufstellen der ebenengleichung F benötigen. diese drei punkte liegen auf einer ebene, die orthogonal zu E ist. andy
03.11.2010, 01:53	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann's auch kompliziert machen, ja. Dem Threadsteller sei gesagt, dass die 4 Koeffizienten der Ebenengleichung nur bis zu einem gemeinsamen Faktor bestimmt sind, denn die Gleichung lässt sich ja beliebig erweitern. Das trifft natürlich auch für die Komponenten des Normalvektors zu. Deshalb "fehlt" dir eine Unbekannte. Vorschlag zur weit einfacheren Lösung: Die gesuchte Ebene kann sofort mit dem Aufpunkt A (oder B) und durch zwei Richtungsvektoren angegeben werden. Die beiden Richtungsvektoren sind (1.) der Vektor AB und (2.) der Normalvektor der Ebene E. Damit gelangen wir zu einer Parameterform der gesuchten Ebene F. mY+
03.11.2010, 20:06	Archosauromorpha	Auf diesen Beitrag antworten »
hey danke leute für eure hilfe!!!

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