Interne/Externe direkte Summe

02.11.2010, 19:24	blondblau-bn	Auf diesen Beitrag antworten »
Interne/Externe direkte Summe Hallo, studiere jetzt seit Oktober Mathe, stehe noch ganz am Anfang und kriege vieles noch nicht hin, aber gebe mir Mühe! ZB hatten wir bei Unterräumen die interne direkte Summe und die externe. Ich habe das beim Nacharbeiten der Vorlesung nicht richtig verstanden und duch weitere Erklärungen aus dem Internet ist mir das auch noch nicht richtig klar geworden, außer das der Schnitt von zwei Untervektorräume nur die Null enthält (? wenn das überhaupt jetzt so richtig ist...) Könnte mir jemand nochmal erklären was die interne und extrene direkte Summe ist, der Unterschied dazwischen und der Unterschied zur normalen Addition? Wäre sehr dankbar! Liebe Grüße
02.11.2010, 19:41	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Die interne Summe ist für UVR's $\begin{eqnarray} U,W \subseteq V \end{eqnarray}$ ist wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} U+W := \{u+w \| u \in U, w \in W\} \end{eqnarray}$ Dies ist wieder ein UVR von V. Die externe Summe ist so definiert: $\begin{eqnarray} U \oplus W := \{(u,w) \| u \in W, w \in W \} \end{eqnarray}$ Dies ist ein ganz neuer Vektorraum. Addition und Multiplikation werden kanonisch eingeführt. Nun zum Zusammenhang zwischen den beiden Summen: Die lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \varphi: U \oplus W \to U+W, (u,w) \mapsto u+w \end{eqnarray}$ ist surjektiv mit $\begin{eqnarray} \operatorname{Kern} \varphi = \{0\} \Leftrightarrow U \cap W = \{0\} \end{eqnarray}$ D.h., wenn $\begin{eqnarray} U \cap W = \{0\} \end{eqnarray}$ , so stellt $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ eine Isomorphiebeziehung zwischen den beiden verschiedenen Summen dar. In diesem Fall nennt man die Summe dann auch direkt.
02.11.2010, 19:44	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Definitionen werde ich jetzt nicht noch einmal wiederholen, die kannst du auch nachschlagen. Also setze ich diese einfach einmal als bekannt vor. Der Unterschied zur normalen Addition von Vektoren(?) sollte ja klar sein. Das Anwendungsgebiet zwischen den beiden Summen ist ein anderes. Die interne (direkte) Summe wird benutzt um von zwei UVR eines gemeinsamen VR einen neuen UVR zu bauen. Auch lässt sich das andersrum nutzen und ein Vektorraum lässt sich in eine direkte Summe zerlegen. So gilt für einen Vektorraum V mit Basis $\begin{eqnarray} \{b_1,\ldots,b_n\} \end{eqnarray}$ immer $\begin{eqnarray} V = \langle b_1 \rangle \oplus \dots \oplus \langle b_n \rangle \end{eqnarray}$ . Die externe direkte Summe konstruiert aus zwei Vektorräumen V,W einen neuen Vektorraum der V und W eingebettet hat. Die Summe der Einbettungen der Vektorräume V,W in der externen direkten Summe ist direkt im internen Sinne. So, das war jetzt vielleicht nicht ganz einfach gesagt, aber denke gründlich darüber einmal nach
02.11.2010, 20:10	blondblau-bn	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke =D, eure Erklärung ist echt gut, hat mir wirklich geholfen!!

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