Lipschitzkonstante

02.11.2010, 20:26

BanachraumK_5

Lipschitzkonstante

Hallo kann mir mal jmd. sagen warum zu der Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ def. durch $\begin{eqnarray*} ((x^2+1)/(2)) \cdot \exp(-x) \end{eqnarray*}$ die Lipschitz konstante durch die Ableitung gegeben sein soll?

Sehe ich nicht? Muss aber stimmen. Also ich habe mal zahlen eingesetzt und irgendwie passt dass nicht?!

02.11.2010, 21:54

gonnabphd

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Das folgt doch standardmässig aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung...

02.11.2010, 22:08

BanachraumK_5

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Nein folgt es nicht! Der MWS oder auch der Schrankensatz gelten nur für beschränkte Intervalle, daher ist zwar auch jede diffbare. Funktion auf einem Kompaktum Lipschitz, aber auf unbeschränkten Intervallen gilt dies nicht.

http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwerts...rentialrechnung

02.11.2010, 22:13

tmo

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Aber wenn die Ableitung doch auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ beschränkt ist...

02.11.2010, 22:21

BanachraumK_5

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Keine Ahnung der Mittelwertsatz macht eine Aussage für Funktionen auf einem Intervall, dies ist hier nicht erfüllt somit können wir ihn nicht verwenden.

Zudem gilt $\begin{eqnarray*} \exp(-x) \longrightarrow \infty \end{eqnarray*}$ im Falle $\begin{eqnarray*} x \longrightarrow -\infty \end{eqnarray*}$ somit ist die Ableitung nicht beschränkt.

Verstehe euch nicht ganz, ihr wollt einen Satz anwenden, dessen Voraussetzungen nicht erfüllt sind?

02.11.2010, 22:24

tmo

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Das wir hier den Mittelwertsatz nicht verwenden können, ist Quatsch. Den kann man bei jeder diffbaren Funktion verwenden.

Was aber richtig ist, ist dass die Ableitung nicht beschränkt ist. Entsprechend ist die Funktion auch nicht auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ Lipschitz-stetig. War vielleicht von lokaler Lipschitz-Stetigkeit die Rede?

02.11.2010, 22:28

gonnabphd

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02.11.2010, 22:45

BanachraumK_5

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Halt jetzt bin ich etwas verwirrt im K. Königsberger steht, daß der Mittelwertsatz auf einem kompakten Intervallen gilt also [a,b] wenn mich nicht alles täuscht ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ nicht kompakt, da nicht beschränkt, also jetzt erklärt mir mal warum dann der MWS gelten soll.

Zum anderen habt ihr Recht, es geht um lokale Lipschitzstetigkeit und wenn ich ein Intervall betrachte folgt aus dem Schrankensatz die Lipschitzstetigkeit. (War aber nicht mein Fehler, da ein Kommilitone mir das nicht gesagt hatte, also Sry! )

Und wenn wir schonmal dabei sind, ist der Vorteil vom Schrankensatz gegenüber Mittelwertsatz?

02.11.2010, 23:07

tmo

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Jede auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ diffbare Funktion ist auch auf jedem kompakten Intervall diffbar. Deswegen kann man auf jedes kompakte Intervall den MWS anwenden. Also kann man für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ den MWS auf $\begin{eqnarray*} \frac{f(x)-f(y)}{x-y} \end{eqnarray*}$ anwenden, sofern x und y nicht gleich sind.

Was ist denn der Schrankensatz? Diese Bezeichnung ist mir neu.

02.11.2010, 23:16

BanachraumK_5

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Schrankensatz:

Eine differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} f:I \mapsto \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ auf einem Intervall I mit einer beschränkten Ableitung ist Lipschitz-Stetig mit

$\begin{eqnarray*} \vert f(x) - f(y) \vert \le L \vert x - y \vert \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x,y \in I \end{eqnarray*}$

Ich verstehe dafür nicht ganz die Motivation, wenn doch der Mittelwertsatz sowieso gilt.

03.11.2010, 16:19

BanachraumK_5

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Kann das nochmal jmd. exakt aufklären übrigens lautet der Schrankensatz im höher dimensionalen

$\begin{eqnarray*} \Vert f(x)-f(y) \Vert \le \sup_{\xi}\Vert Df(\xi) \Vert \Vert x - y \Vert \end{eqnarray*}$
gilt sogar unter entsprechenden Voraussetzungen um "Unendlichdimensionalen" wo mir der Mittelwertsatz ga nicht mehr geläufig ist.

03.11.2010, 16:48

gonnabphd

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Zitat:

Ich verstehe dafür nicht ganz die Motivation, wenn doch der Mittelwertsatz sowieso gilt.

Der eindimensionale Fall (bzw. das was du Mittelwertsatz nennst) ist ein Spezialfall. Soweit ich weiss, gibt es keine Entsprechung dieses Resultats im höherdimensionalen oder in noch allgemeineren Settings, i.e. gibt es sowas wie

$\begin{eqnarray*} \forall x,y \exists \xi: \Vert f(x) - f(y) \Vert = \Vert Df(\xi) \Vert \Vert x-y\Vert \end{eqnarray*}$

nicht.

Der allgemeinere Mittelwertsatz (von dir Schrankensatz) genannt, lässt hingegen Verallgemeinerungen zu.

Nachtrag: Für $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R ^n \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt der Mittelwertsatz noch in folgender Form

$\begin{eqnarray*} \text{Fuer alle $x,h \in \mathbb R^n$ gibt es ein $\vartheta \in (0,1)$ mit $f(x+h) - f(x) = Df(\vartheta h) h$} \end{eqnarray*}$

Das folgt leicht aus dem normalen Mittelwertsatz indem man $\begin{eqnarray*} \varphi(t) := f(x+th) \end{eqnarray*}$ setzt.

Was allerdings allgemeiner gilt (da das Integral den Effekt hat, "ein gewisses mittleres Mass rauszugeben"):

Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^n \to \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} f(x+h) - f(x) = \int_0^1 Df(th) h \, dt \end{eqnarray*}$

Auch das folgt ähnlich wie oben, wenn man obiges für jede Komponentenfunktion einzeln durchführt.

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