Der Durchschnitt von Ebenen

02.11.2010, 21:57

Janni87

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Der Durchschnitt von Ebenen

Hab die Aufgabe diese beiden Ebenen zu schneiden. ==>
$\begin{eqnarray*} E_{2} \cap E_{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_{2} = x+2y+3z = -10 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_{3} = 2x+3y+6z=-1 \end{eqnarray*}$

Folgendes
(gleiches Problem wie bei meinem anderen Post als es um 2 Geraden ging) Problem habe ich nun ==>

bei der symbolischen Darstellung steht dann da: $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1& 2 & 3 \\ 0 & -1 & 0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich kann also z nicht herausfinden, weil sich z zu 0 auflöst. Was schreib ich am besten für einen Grund hin, warum dieses LGS nicht zu lösen ist??
Also die Lösungsmenge ist die leere Menge.

thx

02.11.2010, 22:50

lgrizu

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RE: Der Durchschnitt von Ebenen
nein, die lösungsmenge ist nicht die leere menge.

du erwartest, dass zwei ebenen sich in einem punkt schneiden, das tun sie aber nicht, sie schneiden sich in einer geraden.

parametrisieren von z führt zu einer lösung.

02.11.2010, 22:59

Janni87

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RE: Der Durchschnitt von Ebenen
Was genau bedeutet parametrisieren von z?? Ich kann diese beiden Ebenen in einem Würfel zeichnen lassen, und ich sehe da keine Schnittpunkte von Geraden, also gibt es doch keine Lösungen. Oder versteh ich da etwas falsch??

02.11.2010, 23:09

lgrizu

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RE: Der Durchschnitt von Ebenen
sind sie denn parallel?

wohl nicht, und nur, weil du in einem abgeschlossenen quader keine schnittgerade siehst heißt es nicht, dass im gesamten R^3 keine gibt.

kennst du die parameterdarstellung von geraden und ebenen?

wie sieht die aus?

was könnte also ein parameter sein?

02.11.2010, 23:26

Janni87

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RE: Der Durchschnitt von Ebenen
In der Vorlesung hat man uns nichts genaueres über Parameterdarstellungen erläutert. Man hat uns auf das Gaußsche Eliminationsverfahren aufmerksam gemacht mit allen Ecken und Details. Mit der Stufenform. Dass man Flächenspaltenvariablen frei wählen darf usw. Ich werde morgen nochmal wegen der Parameterdarstellung nachfragen verwirrt

verwirrt

ich habe ja folgende Darstellung wenn man ein bisschen rechnet mit den Symbolen:

1 2 3

0 -1 0

An der Stelle frage ich mich, wie ich weiterrechnen soll und wie ich die Gerade herausrechne. Das Problem ist ja, dass sich z zu 0 auflöst.

02.11.2010, 23:32

lgrizu

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RE: Der Durchschnitt von Ebenen

Zitat:

An der Stelle frage ich mich, wie ich weiterrechnen soll und wie ich die Gerade herausrechne. Das Problem ist ja, dass sich z zu 0 auflöst.

das ist doch blödsinn, was soll das bedeuten "z löst sich zu 0 auf"...?

wir haben:

$\begin{eqnarray*} E_{2} = x+2y+3z = -10 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_{3} = 2x+3y+6z=-1 \end{eqnarray*}$

also die erweiterte matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -10\\ 2 & 3 & 6 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nun führt gauss auf:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & -10\\ 0 & 1 & 0 & -19 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

und ergibt das LGS:

x+2y+3z=-10
y=-19

nun wähle z beliebig und setzte $\begin{eqnarray*} z=\lambda \end{eqnarray*}$ (parametrisieren), welche lösungen bekommst du dann für x bzw. y ?

edit: und parameterdarstellungen von geraden und ebenen lernt man bereits in der schule kennen.....

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02.11.2010, 23:35

Janni87

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RE: Der Durchschnitt von Ebenen
Statt 2 3 3 muss doch 2 3 6 dastehen?!? LOL Hammer

LOL Hammer

Gott

02.11.2010, 23:37

lgrizu

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RE: Der Durchschnitt von Ebenen
okay, nen tipfehler, beantwortest du meine frage?

02.11.2010, 23:42

Janni87

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RE: Der Durchschnitt von Ebenen
Bei der zweiten Matrix hast du noch einen Fehler, y = -19 und x = -48-3z

02.11.2010, 23:48

lgrizu

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RE: Der Durchschnitt von Ebenen
stimmt, habs korrigiert.

deine lösung ist damit richtig:

y=-19
x=-48-3z.

nun stellen wir die gerade in parameterform dar, wir setzen $\begin{eqnarray*} z=\lambda \end{eqnarray*}$ und erhalten:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}= \begin{pmatrix} -48 \\ -19 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

02.11.2010, 23:51

Janni87

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RE: Der Durchschnitt von Ebenen
Warum gerade (-3 0 1) in der zweiten Matrix??? verwirrt

verwirrt

verwirrt

Die erste Matrix versteh ich.. verwirrt

verwirrt

02.11.2010, 23:56

lgrizu

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RE: Der Durchschnitt von Ebenen
wie viele lambda enthält die x-komponenet?
wie viele lambda enthält die y-komponente und wie viele die z-komponente?

02.11.2010, 23:58

Janni87

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RE: Der Durchschnitt von Ebenen
Ganz logisch betrachtet enthält die x-Komp. -3 lambdas die y-Komp. 0 lambdas und die z-Komp. 1 lambda Freude

Freude

02.11.2010, 23:59

lgrizu

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RE: Der Durchschnitt von Ebenen
Freude

Freude

alles verstanden so weit?

03.11.2010, 00:02

Janni87

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RE: Der Durchschnitt von Ebenen
Das mit den lambdas verstehe ich ja, aber wie rechnet man die jeweiligen lambdas aus?? Diese (-3 0 1) Matrix ist irgendwie aus dem Nichts enstanden. Hammer

Hammer

Wie kommt man auf -3 0 1?

03.11.2010, 00:16

lgrizu

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RE: Der Durchschnitt von Ebenen

Zitat:

Original von Janni87
Das mit den lambdas verstehe ich ja, aber wie rechnet man die jeweiligen lambdas aus?? Diese (-3 0 1) Matrix ist irgendwie aus dem Nichts enstanden. Hammer

Hammer

ist sie nicht, wir haben $\begin{eqnarray*} z=\lambda \end{eqnarray*}$ gesetzt.

Zitat:

Original von Janni87
Wie kommt man auf -3 0 1?

die frage hast du dir selbst beantwortet:

Zitat:

Original von Janni87
Ganz logisch betrachtet enthält die x-Komp. -3 lambdas die y-Komp. 0 lambdas und die z-Komp. 1 lambda Freude

Freude

wir haben nun die lösungsmenege, das ist die menge aller vektoren, die die bedingung

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -48-3 \lambda \\ -19+0 \lambda \\ 0+ \lambda \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -48 \\ -19\\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ erfüllt.

03.11.2010, 00:22

Janni87

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RE: Der Durchschnitt von Ebenen
Ahh jetzt wo Lambda auch in der linken Matrix drinnen ist, verstehe ich auch die rechte Matrix smile

smile

Vielen Dank für deine Hilfe.

Gute Nacht Gott

Gott

Gott

Gott

Wink

04.11.2010, 15:18

Janni87

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RE: Der Durchschnitt von Ebenen
Hab noch einen Fehler entdeckt, und zwar ist x = 28-3z und nicht 48-3z Augenzwinkern

Augenzwinkern

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