geschlossene Formel für eine Pyramide

03.11.2010, 00:47	infli	Auf diesen Beitrag antworten »
geschlossene Formel für eine Pyramide Meine Frage: Hallo zusammen, ich würde gerne wissen ob es für Pyramiden eine geschlossene Formel gibt. Für Kugel gibt es zum Beispiel eine einfache und bekannte implizite Darstellung: (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2 mit dem Mittelpunkt (x0,y0,z0) und dem Radius r. Für Kegel gibt es auch so eine implizite Form. Nun würde ich eben gerne wissen ob es für Pyramiden mit rechteckiger Grundfläche auch möglich ist so eine Formel aufzustellen und wenn ja wie diese aussieht bzw. wenn nein wie man Beweisen kann das es eine solche nicht gibt. Meine Ideen: Ich hoffe ihr könnt mir ein bisschen weiterhelfen bin momentan sehr ansatzlos bei der Aufgabe
03.11.2010, 10:44	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich dich richtig verstehe, willst du die Mantelfläche (Oberfläche?) der Pyramide durch eine implizite Gleichung beschreiben. Ich habe mir noch nie Gedanken darüber gemacht. Aber wenn es solch eine Formel gibt, dürfte sie Beträge oder Ähnliches enthalten. Denn in den Punkten der Seitenkanten besteht keine Differenzierbarkeit.
03.11.2010, 11:46	infli	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Mantefläche würde mir reichen. Wenn es eine Formel gibt die alle Punkte beschreibt umso besser. Da die Seitenkanten nicht differenzierbar sind habe ich die Vermutung das es eine solche Formel nicht gibt. Allerdings kann ich das auch nicht beweisen und das wäre wichtig. Die Formel für die Kugel sollte natürlich so lauten: $\begin{eqnarray} (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2 \end{eqnarray}$
03.11.2010, 13:15	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit $\begin{eqnarray} \|x\| + \|y\| = z \end{eqnarray}$ müßte es gehen. Und diese Gleichung jetzt noch einer beliebigen affinen Transformation unterwerfen. Wenn rechts $\begin{eqnarray} \|z\| \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ steht, handelt es sich um eine Doppelpyramide.
03.11.2010, 19:11	infli	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leopold, vielen Dank für deinen Tipp. Ich weiß zwar nicht genau was du mit der affinen Transformation erreichen willst aber die Formel scheint nicht ganz zu funktionieren. Der Einfachheit halber reicht es ja mal die Eckpunkte eines Vierecks anzuschauen. (Man kann ja zu jedem Viereck eine Pyramide konstruieren die diese vier Eckpunkte auf seiner Mantelfläche hat) Nehmen wir weiter an das wir im Ursprung sind damit keine verschiebungen in der Formel notwendig sind. Dann kann man sich zum Beispiel das Viereck anschauen das durch $\begin{eqnarray} P_1 (1,6,-1), P_2(-1, 6,-1), P_3(1,6,1), P_4(-1,6,1) \end{eqnarray}$ definiert ist. Wenn ich deine Formel richtig verstehe müsste zum Beispiel $\begin{eqnarray} P_1 \end{eqnarray}$ auf der Mantelfläche liegen wenn $\begin{eqnarray} \|1\|+\|6\| = -1 \end{eqnarray}$ sein was hier nicht der Fall ist. Was also irgendwie auf jeden Fall in die Formel mit rein muss ist die Steigung einer solchen Pyramide
03.11.2010, 22:20	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich kann man mit einer Gleichung allein nicht alle Pyramiden der Welt beschreiben. Die Gleichung $\begin{eqnarray} \|x\| + \|y\| = z \end{eqnarray}$ ist nur ein Prototyp, aus der alle Pyramidengleichungen durch affine Transformationen hervorgehen. Die Gleichung selbst stellt die Mantelfläche einer Pyramide dar, die ihre Spitze im Ursprung hat und aus der bei einem Schnitt senkrecht zur $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ -Achse auf dem Niveau $\begin{eqnarray} z=1 \end{eqnarray}$ ein Quadrat mit den Ecken $\begin{eqnarray} (1,0,1), (0,1,1), (-1,0,1), (0,-1,1) \end{eqnarray}$ ausgeschnitten wird. Jetzt zu deinem Fall. Zunächst ist deine Angabe verwirrend, denn in der angegebenen Reihenfolge bilden die Punkte kein Viereck. Richtig wäre $\begin{eqnarray} P_1 P_2 P_4 P_3 \end{eqnarray}$ . Jetzt betrachten wir eine affine Transformation $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = T \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich will einmal zwei einfache Interpretationen liefern. Interpretation 1 $\begin{eqnarray} T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Gleichung $\begin{eqnarray} \|x\| + \|y\| = z \end{eqnarray}$ geht über in $\begin{eqnarray} \left\| x' \right\| + \left\| z' \right\| = \frac{1}{3} \, y' \end{eqnarray}$ Das ist eine Pyramide mit dem Ursprung als Spitze und dem Quadrat $\begin{eqnarray} ABCD \end{eqnarray}$ als Schnittfläche senkrecht zur $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Achse beim Niveau $\begin{eqnarray} y=6 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} A=(0,6,-2), B=(-2,6,0), C=(0,6,2), D=(2,6,0) \end{eqnarray}$ Die Punkte $\begin{eqnarray} P_2,P_4,P_3,P_1 \end{eqnarray}$ sind die Seitenmitten der Strecken $\begin{eqnarray} AB,BC,CD,DA \end{eqnarray}$ . Interpretation 2 $\begin{eqnarray} T = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Gleichung $\begin{eqnarray} \|x\| + \|y\| = z \end{eqnarray}$ geht über in $\begin{eqnarray} \left\| x'+z' \right\| + \left\| x'-z' \right\| = \frac{1}{3} \, y' \end{eqnarray}$ Das ist eine Pyramide mit dem Ursprung als Spitze und dem Quadrat $\begin{eqnarray} P_1 P_2 P_4 P_3 \end{eqnarray}$ als Schnittfläche senkrecht zur $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Achse beim Niveau $\begin{eqnarray} y = 6 \end{eqnarray}$ .
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04.11.2010, 11:07	infli	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen Dank jetzt hab ich es verstanden wie du das mit den Transformationen gemeint hast. Hast du mir vielleicht auch noch ein Tipp wie man denn auf diese Transformationen kommt, das sehe ich nämlich noch nicht ganz

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