Vollständige Induktion mit Sinus

03.11.2010, 12:36

Kinderschokolade

Vollständige Induktion mit Sinus

$\begin{eqnarray*} \sin( \frac{x}{2} \sum\limits_{k=-n}^n e^{ikx} ) = \sin(\frac{(2n+1)*x}{2} ) , n\in \mathbb N \cup {0} , k\neq 2k\pi , k\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

für n=0 stimmt alles also probier ich es nun für n+1.

Hier meine erste Frage ( bevor ich beide Wege ganze aufzeichne, das dauert mir zu lange smile

)

Kann ich den Induktionsanfang mit

$\begin{eqnarray*} \sin(\frac{(2n+1)*x}{2} + \frac{x}{2}*(e^{i(n+1)x}+e^{i(-n-1} ) ) \end{eqnarray*}$

bilden?

03.11.2010, 13:02

René Gruber

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RE: Vollständige Induktion mit Sinus

Zitat:

Original von Kinderschokolade
$\begin{eqnarray*} \sin( \frac{x}{2} \sum\limits_{k=-n}^n e^{ikx} ) = \sin(\frac{(2n+1)*x}{2} ) , n\in \mathbb N \cup {0} , k\neq 2k\pi , k\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

für n=0 stimmt alles

Das ist ja schön, dass das für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ stimmt, aber wenn man $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ einsetzt, dann steht links

$\begin{eqnarray*} \sin\left( \frac{x}{2} \left( e^{-ix}+1+e^{ix} \right) \right) = \sin\left( \frac{x}{2} (1+2\cos(x)) \right) \end{eqnarray*}$ ,

und das ist für die meisten $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ verschieden von $\begin{eqnarray*} \sin\left( \frac{3x}{2} \right) \end{eqnarray*}$ . unglücklich

EDIT: Kann es sein, dass es eigentlich eher um sowas wie

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=-n}^n e^{ikx} = \frac{\sin\left( \frac{(2n+1)x}{2} \right)}{\sin\left( \frac{x}{2} \right)} \end{eqnarray*}$

geht? verwirrt

EDIT2: Jetzt sehe ich erst - total falsche Klammersetzung auf der linken Seite in deiner Behauptung! Finger1

Du meinst also in Wahrheit

$\begin{eqnarray*} \sin\left( \frac{x}{2} \right) \cdot \sum_{k=-n}^n e^{ikx} = \sin\left( \frac{(2n+1)x}{2} \right) \end{eqnarray*}$ ,

darauf muss man erstmal kommen.

03.11.2010, 19:34

Kinderschokolade

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Stimmt genau - ich hab noch mal beim Prof nachgehakt. Die Klammer stand nicht so auf dem Zettel, ich hab sie nur da rein interpretiert. Jetzt macht die Gleichung plötzlich auch Sinn.
Schon ärgerlich. Ich werd es dann nun mal so versuchen smile

Danke auf jeden fall smile

03.11.2010, 20:40

Kinderschokolade

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Jetzt komm ich trotzdem nicht weiter.

Ich bin mir ziemlcih sicher dass meine Rechenschritte richtig sind, aber ich komme immer noch nicht durch.

für n=0 stimmt es wieder.

Jetzt teile ich die Formel erst durch sin(x/2).

Nun der Induktionsschritt

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin(\frac{(2n+1)*x}{2}) }{\sin(\frac{x}{2} ) } +e^{i*(n+1)*x} + e^{i*(-n-1)*x} = \frac{\sin(\frac{(2n+1)*x}{2}) }{\sin(\frac{x}{2} ) } + 2*\cos((n+1)*x) \end{eqnarray*}$

Für den Schritt hab ich die exp in sinus und cosinus umgewandelt und die additionstheoreme angewendet.

Aber was nun? Ich habe in meiner Formelsammlung nachgeschaut, ich schätze nciht dass ich die Sinuse einfach so teilen kann oder?

03.11.2010, 20:56

René Gruber

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Manchmal ist es günstig bei der Ideenfindung, schon mal in Richtung Ziel zu schauen: Die Ausgangssumme (laut Induktionsvoraussetzung) ist $\begin{eqnarray*} \frac{\sin\left( \frac{(2n+1)x}{2}\right) }{\sin\left(\frac{x}{2}\right)} \end{eqnarray*}$ , um den (n+1)-ten Summanden ergänzt soll nun laut Induktionsbehauptung $\begin{eqnarray*} \frac{\sin\left( \frac{(2n+3)x}{2}\right) }{\sin\left(\frac{x}{2}\right)} \end{eqnarray*}$ herauskommen. Nun ist

$\begin{eqnarray*} \frac{(2n+1)x}{2} = (n+1)x - \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(2n+3)x}{2} = (n+1)x + \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ ,

also lohnt es sich mal, sich die Ausdrücke

$\begin{eqnarray*} \sin\left( (n+1)x \pm \frac{x}{2}\right) = \sin\left( t \pm \frac{x}{2}\right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} t = (n+1)x \end{eqnarray*}$

per Sinus-Additionstheorem vorzuknöpfen...

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