Muschelernte per Poissonapproximation

03.11.2010, 14:20	Shortstop	Auf diesen Beitrag antworten »
Muschelernte per Poissonapproximation Hey Leute! Ich schlage mich momentan mit folgender Aufgabe rum, und denke, dass ich mich im Kreis drehe: Muschelernte auf einer "Perlenfarm". Eine Musche beinhaltet mit einer Wahrscheinlichkeit von 2% eine Perle. (Selbstverst. unabhängig von den anderen Muscheln). Ich soll nun die Aufgabe(n) durch exakte Berechnung sowie durch (und hier kommt das Problem) Poissonapproximation lösen. i) Wie viele Muscheln muss man öffnen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von über 50% eine Perle zu erhalten? Ok, also Poisson, da war doch was... Falls $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} np_n = \alpha \end{eqnarray}$ so gilt $\begin{eqnarray} \forall k \in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} Bin_{n,p_n} (k) = Poi_{\alpha} (k) \end{eqnarray}$ wobei ja $\begin{eqnarray} Poi_{\alpha} (k) = e^{-\alpha} \frac{\alpha^k}{k!} \end{eqnarray}$ . Gut. Also ich dachte mir, $\begin{eqnarray} k=1 \end{eqnarray}$ für eine Perle. Jetzt kommt das Problem, suche ich $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ als Anzahl der Ziehungen, die ich brauche? Wenn ja, wie kann ich mir $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ definieren? (Insbesondere habe ich nichtmal eine konkrete Vorstellung von dem, was in diesem Fall $\begin{eqnarray} p_n \end{eqnarray*}$ ist, denn 0.02 kann es ja nicht sein, da die Folge gegen 0 gehen muss.)
04.11.2010, 12:41	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Muschelernte per Poissonapproximation Es soll gelten: $\begin{eqnarray} P(x\geq 1)\geq 0,5 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} P(X\leq 0)\leq 0,5 \end{eqnarray}$ Bei der Näherung durch die Poissonverteilung bedeutet das: $\begin{eqnarray} \frac{\alpha^0}{0!}e^{-\alpha}=e^{-\alpha}\leq 0,5 \end{eqnarray}$ Und laut Aufgabe gilt: $\begin{eqnarray} \alpha = 0,02n \end{eqnarray}$
04.11.2010, 19:46	Shortstop	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir erstmal. Okay ich kann deine Idee nachvollziehen, somit erhalte ich, dass die Schwelle etwa bei 35 "Ziehungen" liegt. Aber etwas kann ich doch noch nicht verstehen, wieso kannst du so einfach $\begin{eqnarray} \alpha = p_n n = 0.02n \end{eqnarray}$ setzen? Das würde heissen $\begin{eqnarray} p_n \end{eqnarray}$ ist konstant. Damit wäre die Bedingung für die Approximation $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} p_n n =\alpha \end{eqnarray}$ also insbesondere $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} p_n = 0 \end{eqnarray}$ nicht mehr erfüllt. Wo liegt mein Denkfehler?
04.11.2010, 21:20	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Poissonverteilung gilt bei festem $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ als Näherung für die Binomialverteilung um so besser, je größer n bzw. je kleiner p ist. Ob das aus der exakten Rechnung mit der Binomialverteilung sich ergebende Wertpaar für p und n ausreichend für eine gute Näherung ist, muss die Rechnung zeigen. Hier hat man offenbar eine brauchbare Näherung. Für $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ist jedenfalls immer der Erwartungswert der zu nähernden Binomialverteilung einzusetzen.
04.11.2010, 22:11	Shortstop	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Also die exakte Berechnung läge dann mit $\begin{eqnarray} Bin_{n,0.02} (0) <0.5 \end{eqnarray}$ für n auch bei 35. Hört sich gut an =) danke

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