Supremum beweisen.

03.11.2010, 15:23

Kaikol

Supremum beweisen.

Hallo,
ich hab da so ein paar Schwierigkeiten das Supremum einer Menge zu bestimmen.
Ich versuch das mal an einem Beispiel zu erklären.

$\begin{eqnarray*} M = \left\{\frac{x}{1+x} | x \in \mathbb R\right\} \end{eqnarray*}$

Ich behaupte das sup M = 1

Mein erste Schritt das zu beweisen ist, dass ich beweise das 1 obere Schranke von M ist.

Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \frac{x}{1+x} \leq 1 \end{eqnarray*}$

ich setze voraus das $\begin{eqnarray*} x<1+x \end{eqnarray*}$ (ist ja wahr)

Dann stelle ich um und bringe die Voraussezung mit ein:
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{1+x} = x(1+x)^{-1} < (1+x)(1+x)^{-1}=1 \end{eqnarray*}$
Somit ist 1 obere Schranke.

Wie beweise ich nun das 1 kleinste obere Schranke ist?
Ich weiß das es für jedes $\begin{eqnarray*} \alpha > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ gibt sodass
$\begin{eqnarray*} 1 - \alpha < x \end{eqnarray*}$ gelten müsste. Aber wie beweise ich das?
Wenn ich den Schritt schaffen würde wäre doch damit bewiesen das 1 klienste obere Schranke ist und somit sup M =1 oder hab ich da irgentwo einen Denkfehler?

Hoffentlich könnt ihr mir helfen Augenzwinkern

03.11.2010, 15:29

Mazze

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Wähle etwa x = -10, dann ist

$\begin{eqnarray*} \frac{-10}{1 - 10} = \frac{-10}{-9} = \frac{10}{9} > 1 \end{eqnarray*}$

Damit kann 1 nicht Supremum sein. Tatsächlich besitzt die Menge weder Infimum noch Supremum.

03.11.2010, 18:42

Kaikol

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Stimmt da hast du recht .
Ich meinte auch eigentlich die Menge
$\begin{eqnarray*} M = \left\{\frac{x}{1+x} | x \in \mathbb R, x>0\right\} \end{eqnarray*}$

03.11.2010, 19:02

klarsoweit

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RE: Supremum beweisen.

Zitat:

Original von Kaikol
Wie beweise ich nun das 1 kleinste obere Schranke ist?
Ich weiß das es für jedes $\begin{eqnarray*} \alpha > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ gibt sodass
$\begin{eqnarray*} 1 - \alpha < x \end{eqnarray*}$ gelten müsste.

Nicht das mußt du zeigen, sondern du mußt zeigen, daß es ein x aus R+ gibt mit $\begin{eqnarray*} 1 - \alpha < \frac{x}{1+x} \end{eqnarray*}$ .

03.11.2010, 19:36

Kaikol

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RE: Supremum beweisen.
Ok nur wie geh ich da überhaupt ran... ich glaub ich hab das noch nicht ganz verstanden...
ich versuch also zu beweisen, dass es ein x aus der Menge gibt das zwischen 1 und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ liegt und keine obere Schranke von der Menge ist.

deswegen $\begin{eqnarray*} 1 - \alpha < \frac{x}{1+x} \end{eqnarray*}$
aber wie geh beim beweis vor?

03.11.2010, 20:42

Kaikol

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Kann mir niemand einen Tipp geben wie ich den Beweis anfange.
Wäre euch echt dankbar für einen Ansatz.

04.11.2010, 09:03

klarsoweit

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RE: Supremum beweisen.

Zitat:

Original von Kaikol
ich glaub ich hab das noch nicht ganz verstanden...

In der Tat.

Zitat:

Original von Kaikol
ich versuch also zu beweisen, dass es ein x aus der Menge gibt das zwischen 1 und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ liegt und keine obere Schranke von der Menge ist.

Nein, so nicht. Du mußt ein Element aus der Menge M finden, das größer als 1 - alpha ist. Ein Element der Menge M hat die Form $\begin{eqnarray*} \frac{x}{1+x} \end{eqnarray*}$ mit einem x > 0. Das führt also zu der Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} 1 - \alpha < \frac{x}{1+x} \end{eqnarray*}$

Und das brauchst du nur nach x auflösen.

01.05.2012, 19:28

t4ez

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tschuldige die vll doofe Frage...aber wie löse ich diese gleichung nach x auf? kriegs einfach nicht gebacken =(

02.05.2012, 08:57

klarsoweit

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RE: Supremum beweisen.
Schreibe $\begin{eqnarray*} \frac{x}{1+x} = \frac{1+x-1}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x} \end{eqnarray*}$ .

Der Rest sollte dann für jemanden mit allgemeiner Hochschulreife kein Problem mehr darstellen. Augenzwinkern

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