Kurvenintegral umwandeln

03.11.2010, 16:46

Physinetz

Kurvenintegral umwandeln

Hallo,

habe ziemliche Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe:

1) Wandeln Sie das Kurvenintegral

$\begin{eqnarray*} \int_{\partial B} f ds \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x,y)=\begin{pmatrix} (1-x²)*y \\ (1-y²)*x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

über den Rand eines ebenen Bereichs B mittels des Satzes von Green in ein Doppelintegral.

2) Sei nun $\begin{eqnarray*} \partial B \end{eqnarray*}$ der Kreis $\begin{eqnarray*} x²+y²=r² \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ .
Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} \int_{\partial B} f ds \end{eqnarray*}$ direkt und unter Anwendung von 1).

Also los gehts: Satz von Green:

$\begin{eqnarray*} \int_{\partial G}^{}~(Pdx + Qdy) = \int_{G}^{}~(Q_x- P_y)~d\sigma(x,y) \end{eqnarray*}$

Den hatte ich hier im Board schon ein wenig geklärt.

Heißt also bezogen auf meine Aufgabe, habe ich ja hier die linke Seite der Gleichung (Satz von Green) gegeben. Meine Komponenten P und Q sind die Komponenten von f (fehlt hier in der Aufgabenstellung denn nicht ein Vektorpfeil über f? ), also:
$\begin{eqnarray*} P=(1-x²)*y \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} Q=(1-y²)*x \end{eqnarray*}$

Heißt wenn ich in ein Doppelintegral umwandel muss ich nun die rechte Seite anwenden:

$\begin{eqnarray*} \int_B\int\frac{\partial ((1-y²)*x)}{\partial x} - \frac{\partial ((1-x²)*y)}{\partial y}= \int_B\int\ (1-y²)-(1-x²) \end{eqnarray*}$

Soviel zur 1), hoffe die stimmt, und nochmals: fehlt in der Aufgabe über dem f und dem ds nicht ein Vektorpfeil?

zur 2) Hier habe ich nun nicht mehr wirklich Ahnung.

Direkt berechnen von $\begin{eqnarray*} \int_{\partial B} f ds \end{eqnarray*}$ ? Ich könnte mir hier ein Kurvenintegral vorstellen indem ich den Kreis parametrisiere.Aber ob ich durch das Kurvenintegral den Flächeninhalt des Kreises bekomme?

Und dann soll ich das ganze ja noch nach Green berechnen, mit quasi der rechten Seite der GLeichung. Nur was wären da die Integrationsgrenzen? Müsste ich den Kreis umwandeln in Polarkoordinaten?

Stehe beim zweiten Teil ziemlich auf dem Schlauch...

Gruß Physinetz

03.11.2010, 19:02

system-agent

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Der Vektorpfeil ist nur in der Physik so populär. In der Mathe lässt man das lästige Ding gerne mal weg. Aber wenn du unbedingt willst: ja, man kann einen über $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ schreiben.

Die (1) finde ich gut.

Wieso solltest du den Flächeninhalt vom Kreis kriegen bei der (2) ? Tatsächlich kriegst du das [orientierte] Volumen zwischen dem Funktionsgebirge $\begin{eqnarray*} (1-y^2)-(1-x^2) \end{eqnarray*}$ und der x-y-Ebene mit dem Kreis als Grenze.

Nun ja, $\begin{eqnarray*} \int\limits_{\partial B}f\,\dd s \end{eqnarray*}$ soll wirklich ein Kurvenintegral sein, also richtig geschrieben $\begin{eqnarray*} \int\limits_{\partial B}(1-x^2)y\dd x+(1-y^2)x\dd y \end{eqnarray*}$ .
Einfach mit der Definition ausrechnen.

03.11.2010, 22:23

Physinetz

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Hmm dachte mir ich bekomme den Flächeninhalt, weil der Kreis der Rand ist und ich quasi dann das innere, das vom Rand begrenzt wird, durch meinen Satz von Green berechne. Das sagt dieser ja auch aus:

Wikipedia: "Der Satz von Green erlaubt es ...das Integral über eine ebene Fläche durch ein Kurvenintegral auszudrücken."

Es heißt ja in meiner Aufgabe

a) direkt berechnen

b) via Aufgabe (1)

Direkt wäre bei mir:

(1) Kreis parametrisieren und dann Kurvenintegral 1.Art berechnen, da Kreis geschlossen müsste das Kurvenintegral 0 sein, was im Widerspruch zu meiner These steht, dass man den Flächeninhalt des Kreises damit ausrechnet? Was macht man dann?

Via Aufgabe (1)

(2) Also als Doppelintegral, heißt den Kreis in Polarkoordinaten umrechnen oder was wären beim Doppelintegral meine Grenzen?

Also via Aufgabe (1) wäre bei mir so: $\begin{eqnarray*} \int_B\int\ (1-y²)-(1-x²) \end{eqnarray*}$ und nun eben die passenden Grenzen. Dazu muss ich ja dann aber noch y und x ersetzen ??

Hmm ja das mit dem Doppelintegral haut noch nich ganz hin, bitte nochmal schnell helfen

Besten Dank Freude

03.11.2010, 22:46

system-agent

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Zitat:

Original von Physinetz
(1) Kreis parametrisieren und dann Kurvenintegral 1.Art berechnen, da Kreis geschlossen müsste das Kurvenintegral 0 sein, was im Widerspruch zu meiner These steht, dass man den Flächeninhalt des Kreises damit ausrechnet? Was macht man dann?

Ja, den Kreis musst du parametrisieren und dann das Kurvenintegral nach Definition ausrechnen. Und nein, absolut falsch ist, dass jedes Kurvenintegral über ein geschlossene Kurve Null wäre. Ganz im Gegenteil.
Das ist nur bei Vektorfeldern der Fall, die Gradient einer Funktion sind.

Und auch nein, der Satz von Green hat apriori garnix mit der Fläche zu tun.
Der Satz sagt nur, dass falls man zum Beispiel ein Kurvenintegral einer Kurve mit einem gewissen Vektorfeld ausrechnen will, dann ist es dasselbe ein Doppelintegral einer etwas anderen Funktion auszurechnen. [Das soll in dieser Aufgabe am Beispiel gemacht werden]
Natürlich, falls ein Doppelintegral zu schwierig ist, kann man es, falls man in der Situtation vom Satz ist, auch stattdessen ein Kurvenintegral ausrechnen.

Allgemein sagt der Satz von Stokes genau das:
Man kann ein Integral über eine Stück Fläche auch ausrechnen, indem man stattdessen ein gewisses Integral über den Rand dieser Fläche ausrechnet.

Die Sache mit dem Flächeninhalt kann man dabei nur ausrechnen, wenn man
$\begin{eqnarray*} \iint\limits_{G}1\sigma(x,y) \end{eqnarray*}$ ausrechnet, dh das Integral über die Konstante Funktion 1 - was man wie im Wikipedia-Artikel angedeutet ebenfalls mithilfe von Green auf ein Kurvenintegral reduzieren kann.

Zitat:

Original von Physinetz
Via Aufgabe (1)

(2) Also als Doppelintegral, heißt den Kreis in Polarkoordinaten umrechnen oder was wären beim Doppelintegral meine Grenzen?

Man kann das in Polarkoordinaten tun, ja. Der Kreis hat Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , also musst du in den Polarkoordinaten $\begin{eqnarray*} (\rho,\theta) \end{eqnarray*}$ den Bereich $\begin{eqnarray*} 0\leq\rho\leq r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0\leq\theta\leq 2\pi \end{eqnarray*}$ betrachten.
Denke aber an die Transformationsformel !

03.11.2010, 23:12

Physinetz

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Aha aha, klingt schwer ^^ Oh backe...

Ok also das mit der Transformation in Polarkoordinaten, und das dann noch ein Faktor r vorkommt beim Integrieren ist mir soweit klar.

Nur soll ich das ganze ja über Green machen, also über

$\begin{eqnarray*} \int_B\int\ (1-y²)-(1-x²) \end{eqnarray*}$ denke ich mal?

Wie würde das dann funktionieren?

04.11.2010, 11:28

Physinetz

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Könnte mir nochmal jemand geschwind helfen?

Besten Dank

04.11.2010, 12:20

system-agent

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Zitat:

Original von Physinetz
Nur soll ich das ganze ja über Green machen, also über

$\begin{eqnarray*} \int_B\int\ (1-y²)-(1-x²) \end{eqnarray*}$ denke ich mal?

Was hat Green damit zu tun? Du sollst einfach die beiden Integrale separat ausrechnen und dann erstaunt feststellen, dass sie den gleichen Wert geben.

Dieses Integral ist einfach ein "normales" Integral der Funktion $\begin{eqnarray*} (1-y^2)-(1-x^2) \end{eqnarray*}$ über den Kreis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ .
Schreibe eben den ganzen Kram in Polarkoordinaten und rechne aus.

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