Gleichmächtig durch Injektivität

Neue Frage »

03.11.2010, 18:36	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmächtig durch Injektivität Meine Frage: Zeigen Sie, dass zwei Mengen A und B genau dann gleichmächtig sind, wenn injektive Abbildungen f : A -> B und g : B -> A existieren. Hinweis: Betrachten Sie die Mengen $\begin{eqnarray} A_{1} = A \end{eqnarray}$ ohne $\begin{eqnarray} g(B) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A_{n+1} = g(f(A_{n})) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \geq 1<br /> \end{eqnarray}$ Erklären Sie eine Abbildung h : A -> B durch gut gewählte Defnition von h auf $\begin{eqnarray} C := \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} \end{eqnarray}$ und auf A\C und zeigen Sie dann die Bijektivität. Meine Ideen: Ich bin mir eigentlich sicher, dass ich das kann, aber ich verstehe die Frage nicht. Kann mir bitte jemand erklären, was ich machen soll? Ich wäre euch echt soooo dankbar!
03.11.2010, 19:16	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive, d.h. injektive und surjektive Abbildung h: A --> B gibt . Der "Hinweis" gibt Hinweise, wie man aus injektiven Abbildungen f und g eine bijektive Abbildung h konstruieren soll.
03.11.2010, 19:49	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähm... OK... also die beiden sind gleichmächtig, wenn sie bijektiv sind (ja, ergibt auch Sinn), aber da steht doch nur was von injektiv. Das heißt ja, dass alle Elemente darin nur ein Urbild haben. Stimmt, wenn das andersrum auch gelten soll, müssen sie gleichmächtig sein. Wie kann ich das aber mathematisch hinschreiben/beweisen und was ist dieses große U? Sorry, ich bin da noch nicht wirklich drin...
03.11.2010, 19:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Vorsicht mit dem "stimmt, ..." . Das stimmt offenbar für endliche Mengen, dafür lässt sich ein einfacherer Beweis führen. Für endliche Mengen bedeutet gleichmächtig, dass sie gleich viele Elemente haben. Hier geht es um beliebige, insbesondere um unendliche Mengen. Das Zeichen $\begin{eqnarray} \bigcup \end{eqnarray}$ ist die Vereinigung von Mengen.
03.11.2010, 21:18	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
Äh... Ich soll also beweisen, dass aus der beidseitigen Injektivität die Gleichmächtigkeit folgt und dafür verwenden, was drunter steht, richtig? Hast du 'ne Idee, wie man da anfangen soll? Dieses n+1 in der ersten Zeile stört mich noch. Das sieht so nach Induktionsbeweis aus. Kann man das per Induktion beweisen? Es steht doch aber nirgendwo, dass es sich hierbei um natürliche Zahlen handelt. Dann geht doch ein Induktionsbeweis eigentlich gar nicht. Die Grundefrage habe ich (glaube ich) verstanden, aber wie ich das mit dem, was als Hinweise drunter steht beweisen soll... keine Ahnung. Bei den beiden Mengen, die ich betrachten soll, wäre ja praktisch die erste leer und die zweite... wenn n die Anzahl der Elemente ist... dann stimmt die zweite Gleichheit doch gar nicht, oder? Ich bin damit irgendwie völlig überfordert.
04.11.2010, 15:10	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann das stimmen!? Nochmal zu der zweiten Formal im Hinweis. Wenn ich f(A(n)) bilde ist das ja B, hat also genauso viele Elemente, wie A (was ich ja im Prinzip beweisen soll) und wenn ich dann wieder nach A zurück abbilde (also g(B)) ist das ja eigentlich wieder A(n) und nicht A(n+1), oder nicht? Kann es sein, dass das nicht stimmt, oder habe ich mich irgendwie vertan? Dann soll ich noch eine Abbildung erklären, aber müsste h nicht f sein? Das ist doch die Funktion, die A->B abbildet. Die soll aber auf C abbilden. Ich weiß echt nicht weiter.
Anzeige

04.11.2010, 16:24	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
Problem Ich habe grade folgendes Problem: Wenn $\begin{eqnarray} A_{1} \end{eqnarray}$ heißen soll, dass die Menge A nur ein Element hat und die dann aber gleich $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ / $\begin{eqnarray} g(B) \end{eqnarray}$ sein soll, dann müsste die linke Menge ein Element, aber die rechte Menge keine Elemente beinhalten, weil $\begin{eqnarray} g(B) \end{eqnarray}$ ja wieder A ist und $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ / $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist leer. Das kann ja aber nicht sein. Kann mir bitte jemand sagen, wo mein Fehler ist? Bitte!!
04.11.2010, 19:22	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, diese Aufgabe ist zu schwierig für uns.
04.11.2010, 21:09	Paradiesvogel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok... OK... Ist zwar blöd, aber wenigstens 'ne klare Ansage. Trotzdem danke für den Versuch!

Neue Frage »

Antworten »

Gleichmächtig durch Injektivität

Verwandte Themen