Ordnungsrelationen - Antisymmetrie

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test12345 Auf diesen Beitrag antworten »
Ordnungsrelationen - Antisymmetrie
Hallo!

Also ich versteh einfach die Definition der Antisymmetrie nicht oder ich denke einfach zu kompliziert verwirrt
Die Reflexivität und Transitivität ist klar.

Die Antisymmetrie besagt ja:
Wenn und , dann

Nehmen wir an wir haben .

Ist das dann antisymmetrisch? Laut der Definition müsste "" sein.

Also so: ?

(Darf es denn mehrere gleiche Tupel in einer Menge geben?)

Das war meine erste Frage.

Nun die zweite: Warum heißt die bedingung dann Antisymmetrie? Was ist denn antisymmetrisch (also "ungleich") wenn ist (wie es auch in der Definition steht)?????

Am Besten wäre es, wenn mir jemand einfach mal ein Beispiel einer partiellen Ordnung (alle 3 Bedingungen erfüllt) geben und dann sagen würde, aufgrund welcher Elemtente welche Bedingung erfüllt ist.
Das wäre super hilfreich, leider hab ich sowas im Internet nicht gefunden smile

Grüße smile
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ordnungsrelationen - Antisymmetrie
Also in einer Menge können Elemente nicht doppelt auftauchen - die Elemente einer Menge sind ja auch nicht irgendwie geordnet. Es ist wie mit einem riesigen Sack, in dem Gegenstände sind. Manche Gegenstände sind drin und manche draußen. Ein konkreter Gegenstand kann aber nicht zweimal in dem Sack sein, da er ja auch nur einmal existiert. Genauso ist es in der Mengenlehre: Objekte sind einzigartig - sie sind entweder in der Menge drin oder eben nicht.
Somit ist

In Deinem Beispiel ist ja aber , d.h. . Somit ist die Relation nicht antisymmetrisch, denn für und sind und in drin, aber .

Man kann sich das leicht mit der Relation veranschaulichen: Wenn ist und , dann muss auch sein.

Gruß,
Reksilat.
test12345 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das mit dem <= oder => einsetzen wusste ich auch schon Augenzwinkern

Kann mir irgendwer nochma nen Beispiel für eine partielle Ordnung geben?

Bzw.
Zitat:
Eine (partielle) Ordnungsrelation oder kurz Ordnung O auf einer Menge M ist eine Relation, die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.
Beispiel: M = { 1 , 2 , 3 }, O = { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 )}


reflexiv, wegen ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 )

Durch welche Elemente ist die Ordnung nun translativ und antisymmetrisch?!
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von test12345
Ja das mit dem <= oder => einsetzen wusste ich auch schon Augenzwinkern

Schön, dass Du es oben erwähnt hast.

Zitat:
Kann mir irgendwer nochma nen Beispiel für eine partielle Ordnung geben?

Möchtest Du jetzt so viele Beispiele wie möglich sammeln oder was ist Dein Ziel?
Beispiel:
Menge: Potenzmenge einer beliebigen Menge, z.B.
Relation: Teilmengenrelation, d.h. für ist genau dann wenn ist.

Zitat:
Bzw.
Zitat:
Eine (partielle) Ordnungsrelation oder kurz Ordnung O auf einer Menge M ist eine Relation, die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist.
Beispiel: M = { 1 , 2 , 3 }, O = { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 )}


reflexiv, wegen ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 )

Durch welche Elemente ist die Ordnung nun translativ und antisymmetrisch?!

Die Menge ist transitiv und antisymmetrisch, weil eben die Bedingungen dafür erfüllt sind. Prüfe diese Bedingungen nach. Dabei kann man nicht irgendwelche Elemente aufzählen, hierfür sind eben alle Elemente einer Relation von Bedeutung.
test12345 Auf diesen Beitrag antworten »

ja tut mir leid...

zu meinem Beispiel:

translativ, wenn (a,b) und (b,c), dann muss auch (a,c) existieren..
O = { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) , ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 )}

also wo is das hier bitte schön drin oder was kapier ich nicht?!
achjaaaa, da steht ja wenn (a,b) und (b,c),dann...ok also ist translativ erfüllt, weil es gar kein (a,b) und (b,c) gibt...

und antisymmetrisch..kannst du mir da nicht nen beispiel geben, weil sonst, wie soll ich mir das vorstellen?
soll ich das so interpretieren?:
Wenn und , dann
Also als Beispiel: Wenn dann wäre (a,b) und (b,a) ja der Fall a=b, also (was auch reflexiv wäre)

also irgendwie müssen wir hier ja mal vorwärts kommen..wie gesagt, die definition bringt mir nix, ich kann mir das nicht klar machen, ich brauch nen anschauliches beispiel mit ausgeschriebenen mengen..Ich meine halt, wie der Typ das hier gefragt hat:
matheboard.de/thread.php?threadid=431720&hilight=ordnungsrelation

bitte nicht böse sein Big Laugh
test12345 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab noch ne Frage:

Gegeben sind zwei Relationen R = {(1; 3); (2; 3); (3; 4)}; (3; 5) und
S = {(1; 3); (3; 5); (5; 1)} uber A x A mit A = {1; 2; 3; 4; 5}.

Wieso ist hier das Element (5,1) in S aufgeführt? Ich denke man liest immer "<=" und 5<=1 ist doch unwahr?! Bis jetzt hatte ich nur Beispiele, wo wirklich a<=b war. Versteh ich ebenfalls nicht..
 
 
test12345 Auf diesen Beitrag antworten »

ok ich habs endlich kapiert Big Laugh Big Laugh Big Laugh dachte ich verzweifel noch..hab mich da wohl etwas zu sehr reingesteigert und verkompliziert..also danke nochmal an dich Reksilat Augenzwinkern

Also könnte man auf jeden Fall definieren: Eine Relation die nur Elemente enthält, die die Relation zu einer reflexiven machen, ist auch gleichzeitig antisymmetrisch!




Die Relation ist auch antisymmetrisch, da das Element (2,3) fehlt; wenn (2,3) vorhanden wäre, wäre (da 3!=2) und die Relation somit nicht antisymmetrisch.


Aber die Frage über meinem Post hier wäre noch offen smile
Mir ist klar, dass (5,1) bei einem Kreuzprodukt entstehen kann nur verwirrt mich das, wenn man nun das mit dem <= sagt...
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Also das Kreuzprdoukt/kartesische Produkt kann ich doch auch über beliebigen Mengen bilden und insofern ist es gar nicht sinnvoll die Einträge in den Paaren der Größe nach zu ordnen. Nein, in jedem Paar aus dem kartesischen Produkt wird klar zwischen erster und zweiter Komponente unterschieden, so dass also ist. Die Einträge der Größe nach zu ordnen wäre auch sinnlos, da man im allgemeinen Elemente gar nicht der Größe nach ordnen kann. Außerdem müsste man ansonsten ja auch nicht unbedingt zwischen und unterscheiden.

Das mit dem war nur eine Beispiel für eine antisymmetrische Relation. Mit anderen, völlig abstrakt definierten Relationen hat das nichts zu tun.

Noch ein völlig abstraktes Beispiel:

Und

Hier solltest Du sehen, dass Du im allgemeinen gar keine kanonische Ordnungsrelation wie auf der Grundmenge kennst und wirklich nur mit der gegebenen Relation arbeiten kannst. Auch hier lässt sich auf Antisymmetrie untersuchen.

Gruß,
Reksilat.
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Antisymmetrie bedeutet auf gut Deutsch gesagt, dass für unterschiedliche a und b die zwei Richtungen, also (a,b) und (b,a) nicht möglich sind. Wenn, dann nur eine Richtung.
test12345 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Reksilat für die Erklärung mit dem <= und dem abstrakten Beispiel.
Also R von deinem Beispiel wäre demzufolge nicht antisymmetrisch,da

vorkommen und a!=b ist.

Danke euch smile
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