Beweis der BAC-CAB-Formel

03.11.2010, 20:57

apolliclassic

Beweis der BAC-CAB-Formel

Meine Frage:
Hallo,
ich habe Gestern Abend versucht, dieses Gebilde zu beweisen :-)

Es geht um: $\begin{eqnarray*} \vec{a} \times ( \vec{b} \times \vec{c} ) = ( \vec{a} * \vec{c} ) * \vec{b} - ( \vec{a} * \vec{b} ) * \vec{c} \end{eqnarray*}$
im Raum (R³)

Meine Ideen:
Der Teil nach dem Gleichzeichen wird zu 0 wenn man ihn ausmultipliziert.

Jedoch bei dem 1. Teil komme ich nicht weiter! Ich komme auf 12 Terme, einer zb $\begin{eqnarray*} a_{y}b_{x}c_{y} \end{eqnarray*}$ , von den 12 kürzen sich 4 Stück weg ( da sie identisch sind und durch die Vorzeichen sich auflösen).
Jetzt habe ich immernoch 8 Stück übrig.
$\begin{eqnarray*} a_{y}b_{x}c_{y} - a_{y}b_{y}c_{x} - a_{x}b_{x}c_{y} +<br /> a_{x}b_{y}c_{x} + a_{x}b_{z}c_{x} - a_{x}b_{x}c_{z} - a_{y}b_{y}c_{z} + a_{y}b_{z}c_{y} \end{eqnarray*}$

Wie muss ich jetzt fortfahren ? Ich sehe das doch richtig, das man den auch zu 0 bekommen muss, damit das QED ist? Ausklammern kommt auch nicht so wirklich hin bzw ich kriegs nicht hin!

Über Hilfe bin ich dankbar!

03.11.2010, 21:35

lgrizu

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RE: Beweis der BAC-CAB-Formel

Zitat:

Original von apolliclassic

$\begin{eqnarray*} \vec{a} \times ( \vec{b} \times \vec{c} ) = ( \vec{a} * \vec{c} ) * \vec{b} - ( \vec{a} * \vec{b} ) * \vec{c} \end{eqnarray*}$
im Raum (R³)

was soll das "*" denn sein, das produkt zweier vektoren existiert nicht, soll es das tensorprodukt oder das skalarprodukt sein?

...ich tippe mal auf skalarprodukt....

das skalarprodukt ist bezüglich der hintereinanderausführung nicht assoziativ:

betrachte dazu $\begin{eqnarray*} ( \vec{a} * \vec{b}) * \vec{c}=( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} ) * \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} =32* \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} \neq 122 * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} * ( \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$ .

also steht auf der rechten seite nicht 0.

03.11.2010, 21:43

mYthos

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Dieses "Gebilde" heisst Grassman-Identität (oder Graßmann-Identität).
Die Suche fördert einige Erkenntnisse zutage.

U.a.

Graßmann-Identität

mY+

13.11.2012, 20:33

DrOgden

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RE: Beweis der BAC-CAB-Formel
Dies ist kein Beweis der BAC-CAB-Regel, sondern ein Beispiel für bestimmte Vektoren.

Allgemein müsste man das Kreuzprodukt für 3-dim Vektoren definieren.
Dafür gibt es den Levi-Cevita-Tensor, der über die Einstein'sche Summenkonvention die Form:
Epsilon (€) Index i j k = Einheitsvektor e Index i * (e Index j X e Index k) definiert als:

+1, für zyklische Transpostion
-1, für antizyklische Transposition
o sonst.

So wird aus a x (b x c) = € Ind i j k *e Ind i * (e Ind j aj x e Ind k dk),
mit dk = € Ind i l m * e Ind i ( e Ind l bl x e Ind cm) ...

Levi Cevita Tensor für drei Dimensionen

Rest ist Hausaufgabe.

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