Aufgaben zu Sur-/Injektivität von Kompositionen

03.11.2010, 22:15	Busch	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgaben zu Sur-/Injektivität von Kompositionen Hallo, liebe Leute. Nun zu meinem Problem: Gegeben sind folgende Definitionen für $\begin{eqnarray} f: X \rightarrow Y \end{eqnarray}$ : Injektivität: $\begin{eqnarray} \forall x, x' \in X: x \neq x' \Rightarrow f(x) \neq f(x') \end{eqnarray}$ Surjektivität: $\begin{eqnarray} \forall y\in Y \exists x \in X : y = f(x) \end{eqnarray}$ Soweit ist mir alles klar. Nun habe ich aber einige Aufgaben dazu, die ich nur unvollständig bearbeiten kann. Womöglich kann mir hier jemand helfen? Ich habe für jede Aufgabe notiert, wie weit ich gekommen bin / was meine Idee war: *Seien X, Y und Z nicht-leere Mengen und $\begin{eqnarray} f: X \rightarrow Y \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} g: Y \rightarrow Z \end{eqnarray}$ Abbildungen. Zeigen Sie:* (a) $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist genau dann surjektiv, wenn es eine Abbildung $\begin{eqnarray} \phi: Y \rightarrow X \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} f \circ g = id_Y \end{eqnarray}$ (b) $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist genau dann injektiv, wenn es eine Abbildung $\begin{eqnarray} \psi: Y \rightarrow X \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} psi \circ g = id_X \end{eqnarray}$ (c) Wenn $\begin{eqnarray} g \circ f: X \rightarrow Z \end{eqnarray}$ injektiv ist, ist auch f injektiv. (d) Wenn $\begin{eqnarray} g \circ f: X \rightarrow Z \end{eqnarray}$ surjektiv ist, ist auch f surjektiv. Folgende Lösungen bzw. Lösungsansätze habe ich: ad (a): $\begin{eqnarray} f \circ \phi = f(\phi(Y)) = f(X) = Y = id_Y \end{eqnarray}$ Ich ersetze also eigentlich nur etwas. Doch ist das so richtig? Und auch richtig aufgeschrieben? Schließlich geht es um Mengen. ad (b) (analog zu a): $\begin{eqnarray} \psi \circ f = \psi(f(X)) = \psi(Y) = X = id_X \end{eqnarray}$ Selbe Fragen wie bei (a). ad (c): Da $\begin{eqnarray} g \circ f: X \rightarrow Z \end{eqnarray}$ injektiv sein soll, gilt laut Definition: $\begin{eqnarray} \forall x, x' \in X: x \neq x' \Rightarrow (g \circ f)(x) \neq (g \circ f)(x') \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow g(f(x)) \neq g(f(x')) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow f(x) \neq f(x') \end{eqnarray}$ Ist das so "legal" und Beweis genug? ad (d): Abermals anwenden der Definition: $\begin{eqnarray} \forall z\in Z \exists x \in X : z = (g \circ f)(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow z = g(f(x)) \end{eqnarray}$ Und nun weiß ich nicht weiter. Es ist ja vermutlich analog zu (c). Für jegliche Hilfe bin ich dankbar!
07.11.2010, 23:51	Busch	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo nochmal. Ich hoffe, dass die Tatsache, dass es keine Antwort gab nicht daher rührt, dass ich mich schlecht benommen habe oder so :P Ich hab inzwischen nochmal die Aufgaben grundlegend überarbeitet und bin fertig. Bei a) und b) gab es eine Portion Text und c) und d) lassen sich gut mit Gegenannahmen beweisen, weil diese zum Widerspruch mit der Voraussetzung führen. Merci beacoup pour l'attention.

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