unendlich viele vektoren linear abhängig

13.11.2006, 18:14

Dr4gonclaw

unendlich viele vektoren linear abhängig

Aufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ . Gib unendlich viele Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,v_2, ... \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ an, so dsas je zwei der $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind.

Kann man die $\begin{eqnarray*} v_i \end{eqnarray*}$ zusätzlich so wählen, dass je drei von ihnen linear abhängig sind?

Wenn mir jemand Tipps oder Ansätze geben könnte, wäre ich sehr glücklich.

13.11.2006, 18:17

Mathespezialschüler

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Nimm dir das Beispiel $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ und überlege dir anschaulich, wann zwei Vektoren dort linear unabhängig sind. Versuch dann mal, irgendwie den Einheitskreis zu benutzen.

Gruß MSS

13.11.2006, 18:29

Dr4gonclaw

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In $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ sind 2 Vektoren linear abhängig wenn sie auf einer graden oder parallel liegen, linear unabhängig demnach wenn sie es nicht tun.
Aber mit dem Einheitskreis kann ich nichts anfangen Hammer

13.11.2006, 18:36

Mathespezialschüler

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Erstmal zur Formulierung: Zwei Vektoren können nicht auf einer Geraden liegen! Sie können parallel oder kollinear sein, aber auf einer Geraden können sie nicht liegen.
Zur Aufgabe: Dann kann ich dir wohl nur so weiterhelfen: Betrachte für $\begin{eqnarray*} -1\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ die Vektoren

$\begin{eqnarray*} v_x=\begin{pmatrix} x \\ \sqrt{1-x^2} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Je zwei dieser Vektoren sind linear unabhängig! Das musst du jetzt nur noch beweisen.

Gruß MSS

13.11.2006, 18:42

Dual Space

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Versuch dann mal, irgendwie den Einheitskreis zu benutzen.

Also das hat mich jetzt neugierig gemacht ... wenn du Lust/Zeit hast, kannst du ja vielleicht noch mal ein paar Worte drüber verlieren.

13.11.2006, 18:47

Dr4gonclaw

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Jetzt versteh ich auch was du mit dem Einheitskreis meintest smile

13.11.2006, 18:50

Mathespezialschüler

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Hmmm, wüsste nicht, warum das nicht aus meinem letzten Post hervorgehen sollte. Sei $\begin{eqnarray*} K_1(0,0)=\{P(x,y)\in\mathbb R^2\ |\ x^2+y^2=1\} \end{eqnarray*}$ die Menge aller Punkte auf dem Einheitskreis. Man betrachte die Menge

$\begin{eqnarray*} M=\{\overrightarrow{OP}\ |\ P\in K_1(0,0)\} \end{eqnarray*}$ .

Zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec a,\vec b\in M, \vec a\neq \vec b \end{eqnarray*}$ sind dann immer linear unabhängig.
Und in meinem Post davor hab ich einfach den "oberen Halbkreis", also $\begin{eqnarray*} K'=\{P(x,y)\in K_1(0,0)\ |\ y\geq 0\} \end{eqnarray*}$ , des Einheitskreises in der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Ebene genommen und alle weiteren Komponenten $\begin{eqnarray*} =0 \end{eqnarray*}$ gesetzt. Das entsprechende $\begin{eqnarray*} M' \end{eqnarray*}$ wäre dann:

$\begin{eqnarray*} M'=\{\overrightarrow{OP}\ |\ P\in K'\} \end{eqnarray*}$

Gruß MSS

13.11.2006, 18:57

Dual Space

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Achso ... dachte du hattest noch was tiefsinnigeres im Sinn ... bei dir weiß man ja nie. Augenzwinkern

Trotzdem danke! smile

13.11.2006, 18:59

Dr4gonclaw

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-1 < x < 1 deutet drauf hin und der Punkt $\begin{eqnarray*} (x,\sqrt{1 - x^2}) \end{eqnarray*}$ liegt auf dem Einheitskreis (Pythagoras lässt grüßen Augenzwinkern

) "Sind also alle Richtungsvektoren im oberen Halbkreis"

So habe ich das mit dem Einheitskreis in Verbindung gebracht Augenzwinkern

13.11.2006, 19:08

Mathespezialschüler

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Hehe! Nene, nichts Tiefsinnigeres, diesmal ganz direkt. Augenzwinkern

Gruß MSS

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