Erwartungswert

04.11.2010, 09:16	ellas	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} x(m) \end{eqnarray}$ beschränkt. Man zeige, dass für diskrete und kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsräume $\begin{eqnarray} inf_{t\in M} x(t) \leq E(x) \leq sup_{t\in M} x(t) \end{eqnarray}$ gilt. Meine Ideen: Da der Erwartungswert ja grundsätzliche eine Art Mittelwert darstellt, ist diese zu zeigende Aussage ja "sowieso" klar. Ich hätte mir gedacht dies mit der Definition des Erwartungswertes zu zeigen, also durch $\begin{eqnarray} EX= \sum_{i=1}^{n}x_i P(X=x_i) \end{eqnarray}$ . Ich habe leider nur keine Idee wie ich die Beschränktheit hier so nutzen kann (was ich sicher sollte), dass ich auf die Behauptung stoße. Ich meine, aus der Beschränktheit folgt, dass es sowhl eine untere als auch eine obere Schranke gibt. Damit wäre die Existenz vom Supremum und Infinum soch gezeigt. Doch reicht dies schon aus um auf die obige Behauptung zu stoßen oder muss ich noch irgendwie anders argumentieren? Würde mich auf Kommentare freuen.
04.11.2010, 11:23	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Erwartungswert einer Konstanten, ist die Konstante selbst. Du hast hier zwei Konstanten a,b für die gilt : $\begin{eqnarray} a = \inf_{t \in M}x(t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b = \sup_{t \in M}x(t) \end{eqnarray}$ Insbesondere ist $\begin{eqnarray} a \leq x(m) \leq b \end{eqnarray}$ Mit der Monotonie des Integrals und obiger Aussage folgt die Ungleichung.

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