Schnittpunkt von 3 Kugeln

04.11.2010, 10:49

beatyourcube

Schnittpunkt von 3 Kugeln

Hi,
mein Problem ist, dass ich scheitere den Schnittpunkt von drei Kugeln zu berechnen.
Dies sind die Gleichungen:
I: $\begin{eqnarray*} (x-2)^2+(y-4)^2+(z-1)^2= 9 \end{eqnarray*}$
II: $\begin{eqnarray*} (x+5)^2+(y-2)^2+(z-1)^2= 40 \end{eqnarray*}$
III: $\begin{eqnarray*} (x-4)^2+(y+1)^2+(z-2)^2= 22 \end{eqnarray*}$

Schnittpunkt wird sein: P(1/2/3), da ich das Beispiel selber entworfen habe.
Bis jetzt probiert:
II-I:
y=5,5-3,5x
Dann habe ich versucht III nach z aufzulösen, allerdings komm ich auf einen Betrag von einer Wurzel +1. Beim weiteren durchziehen bin ich zu einem falschen Ergebnis gekommen.
Nun die Frage, wie ich das am schlausten löse?
Vielen Dank.
beatyourcube
PS: Bin 12. Klasse Gymnasium, also bitte möglichst verständlich.

Nochmal die Gleichungen zum rauskopieren:
I: (x-2)^2+(y-4)^2+(z-1)^2= 9
II: (x+5)^2+(y-2)^2+(z-1)^2= 40
III: (x-4)^2+(y+1)^2+(z-2)^2= 19

Edit: Es sind natürlich Kugeln und keine Kreise :P

04.11.2010, 11:49

René Gruber

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Zitat:

Original von beatyourcube
Dann habe ich versucht III nach z aufzulösen, allerdings komm ich auf einen Betrag von einer Wurzel +1.

Taktisch geschickter wäre es, einen weiteren linearen Zusammenhang zu gewinnen, etwas per (III)-(I) oder (III)-(II). Auf diese Weise kannst du dann per Eliminationsverfahren alles auf eine quadratische Gleichung zurückführen:

P.S.: Bei (III) solltest du dich entscheiden, ob rechts nun 22 oder 19 steht. Ich nehme an letzteres, sonst haut das mit dem Punkt P(1/2/3) nicht hin.

05.11.2010, 11:22

beatyourcube

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Ja es muss natürlich 19 heißen.
Das habe ich nun gemacht:
II-I
A: y = 5,5 - 3,5x
III-I
B: 5y - 2x - 5 = z
III-II
C: z = -9x + 3y + 6
Diese Formeln sollten stimmen, da der Punkt 1/2/3 "funktioniert".
Dann:
B=C und A eingesetzt:
22,5 - 19x = -19x + 22,5

Ich weiß nicht was ich falsch mache verwirrt

05.11.2010, 17:45

René Gruber

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Zitat:

Original von René Gruber
etwas per (III)-(I) oder (III)-(II).

Auf das oder kommt es an: Das soll heißen, eine der beiden genügt, alle beide ist sinnlose Redundanz. Bleiben wir bei III-I, was du richtig zu

$\begin{eqnarray*} z = -2x+5y-5 \end{eqnarray*}$

umgeformt hast. Setzt man dort dein vorher schon erhaltenes

$\begin{eqnarray*} y = \frac{11}{2}-\frac{7}{2}x \qquad (IV) \end{eqnarray*}$

ein, so ergibt das

$\begin{eqnarray*} z = \frac{45}{2}-\frac{39}{2}x \qquad (V) \end{eqnarray*}$ .

Und nun setze (IV) und (V) in irgendeine (aber dann auch nur eine Augenzwinkern

) der Originalgleichungen (I), (II) oder (III) ein, dann hast du die von mir oben angesprochene quadratische Gleichung, hier dann für die Variable $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Das war jetzt die Langform meines letzten Postings - bei etwas Mitdenken deinerseits hätte die schon langen können, wenn du dem Stichwort "Eliminationsverfahren" etwas mehr Beachtung geschenkt hättest.

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