integral lösen

04.11.2010, 13:44

martinakkkk

integral lösen

Meine Frage:
hallo habe ein stammintegral

\integral x/(1-x^2) dx

kann in meiner formelsammlung kein stammintegral dazu finden
kann mir jemand helfen??

Meine Ideen:
x/((1-x)*(1+x))...

04.11.2010, 13:45

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Versuchs mal mit einer Substitution.

04.11.2010, 14:29

baphomet

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich geb dir einen Tipp,

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x}{1-x^2} \end{eqnarray*}$

Jetzt denk dir mal der Nenner heißt 2x, damit die Gleichung gleich bleibt entsteht folgende Gleichung.

$\begin{eqnarray*} f(x)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{-2x}{1-x^2} \end{eqnarray*}$

Fällt dir bei dem Bruch etwas auf, wenn ja worauf lässt das dann unmittelbar schließen.

04.11.2010, 15:12

martina.m18

Auf diesen Beitrag antworten »

hi danke für deine antwort::

also das heisst doch dann:

-1/2 * f(x)´/ f(x)

und das heisst ja dann integriert

-1/2 ln f(x)

oder..

ich kann mir unter der substitution noch nicht ganz richtig vorstellen wie ich das
schritt für schritt angehen muss, und worauf ich achten muss
danke martine verwirrt

04.11.2010, 15:22

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der Vorstellung ist das immer so eine Sache. Man sollte aber zumindest die Substitutionsregel kennen:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b~f(g(x)) \cdot g'(x)~dx = \int_{g(a)}^{g(b)}~f(u)~du \end{eqnarray*}$

04.11.2010, 15:35

baphomet

Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt du hast die richtige Stammfunktion gefunden.

Die Substitutionsregel musst du dir merken, wird beim integrieren oft benötigt.
Bei der logarithmischen Integration handelt sich um einen Sonderfall der Substitutionsregel.
Möchte dir die Substitutionsregel an einem Beispiel erklären:

1. Schritt
$\begin{eqnarray*} \int {1}{x^2+2x+2}dx \end{eqnarray*}$

2. Schritt
nun wird x=t-1 substituiert und es entsteht folgendes:

$\begin{eqnarray*} =\int {1}{(t-1)^2+2(t-1}+2}dx=\frac{1}{1+t^2} \end{eqnarray*}$

Dies führt als Stammfunktion zum Arcustangens

$\begin{eqnarray*} =\arctan(t) \end{eqnarray*}$

3. Schritt
Rücksubstitution

$\begin{eqnarray*} =\arctan(x+1) \end{eqnarray*}$

04.11.2010, 16:31

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von baphomet
1. Schritt
$\begin{eqnarray*} \int {1}{x^2+2x+2}dx \end{eqnarray*}$

2. Schritt
nun wird x=t-1 substituiert und es entsteht folgendes:

$\begin{eqnarray*} =\int {1}{(t-1)^2+2(t-1)+2}dx=\frac{1}{1+t^2} \end{eqnarray*}$

Dies führt als Stammfunktion zum Arcustangens

$\begin{eqnarray*} =\arctan(t) \end{eqnarray*}$

3. Schritt
Rücksubstitution

$\begin{eqnarray*} =\arctan(x+1) \end{eqnarray*}$

Hab mal deinen Latexcode korrigiert.

Im übrigen solltest du auf die mathematische Korrektheit achten, so wie du es hier geschrieben hast ist das falsch, es sollte wohl vielmehr $\begin{eqnarray*} \int \frac {1}{x^2+2x+2}\dx \end{eqnarray*}$ heißen.

04.11.2010, 18:15

martina.m18

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo

also bei Punkt 2 weis ich nicht wie man
auf ..... =1/(1+t^2) kommt, wieso t-1=x substituion??

und zu meiner eigentlichen aufgabe:

1.)
\integral x/(1-x^2) dx
\integral x/(u) du

mit u(x)=1-x^2
u´=-2x
u´=du/dx=-2x

dx=du/-2x

eingesetz

\integral x/(u) du/-2x

x kürzt sich raus

\integral (-1/2) * 1/(u) du

stammfunktion

(-1/2) * ln u + C

nun rücksubstitution
(-1/2) * ln (1-x^2) + C

okay ist die vorgehensweise so nun mathematisch richtig??

04.11.2010, 18:24

baphomet

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Vorgehensweise ist mathemtaisch korrekt, aber eine kleine Überelgung wie ich
Sie dir gezeigt habe funktioniert auch, da die logarithmische Integration eine spezielle
Form der Integration durch Substitution ist. Wähle den Weg der für dich besser ist.

Nun nochmal zum Beispiel von mir, ist so fehlerhaft.

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{x^2+2x+2}dx \end{eqnarray*}$

Nun muss man etwas nachdenken und eine geignete Substitution finden um dementsprechend integrieren zu können, deshalb kommt x=t-1 in Betracht.
Dies führt zu Schritt 2.

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{(t-1)^2+2(t-1)+2}dx<br /> \int \frac{1}{1+t^2}dx \end{eqnarray*}$

Nun ist jedem bekannt das es sich bei der Stammfunktion um den Arcustangens handelt.

$\begin{eqnarray*} \arctan(t)+C \end{eqnarray*}$

Nur noch zurücksubstitutieren und fertig.

04.11.2010, 18:32

martina.m18

Auf diesen Beitrag antworten »

okay jetzt kapiere ich es,
nochmals vielen dank

lg martina

04.11.2010, 18:37

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht ist das "Finden" einer geeigneten Substitution etwas einleuchtender, wenn man noch die binomische Formel im Nenner erwähnt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2+2x+2} = \frac{1}{(x+1)^2+1} \end{eqnarray*}$
Dann sieht man einfacher, dass x+1=t zum Ziel führt. smile

Neue Frage »

Antworten »

integral lösen

Verwandte Themen