Stetigkeit von Indikatorfunktion in top. Raum

04.11.2010, 13:52

lego

Stetigkeit von Indikatorfunktion in top. Raum

Sei X ein top. Raum und für eine Teilmenge A von X sei $\begin{eqnarray*} C_a(x) \end{eqnarray*}$ die Indikatorfunktion von A

$\begin{eqnarray*} C_a(x)=1, x\in A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C_a(x)=0, x\in X\setminus A \end{eqnarray*}$

Dann gilt: $\begin{eqnarray*} C_a \end{eqnarray*}$ ist genau dann stetig, wenn A sowohl offen als auch abegschlossen ist.

Ich habe versucht das zu zeigen, würde mich freuen, wenn jemand drüberschauen könnte:

Wenn A offen und abg. dann auch X\A

zeige erste Richtung: offen und abg. -> stetig

sei $\begin{eqnarray*} x\in A \Rightarrow C_a(x)=1 \end{eqnarray*}$

Weil A offen ist, gibt es ein $\begin{eqnarray*} x_0 \in A \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\delta>0 \end{eqnarray*}$ und es folgt $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_0)|=|1-1|=0<\epsilon \end{eqnarray*}$

sei $\begin{eqnarray*} x \in X \setminus A \end{eqnarray*}$ analog zu oben weil ja X\A ebenfalls offen ist

das Ganze funktioniert auch in die Rückwärtsrichtung, weshalb auch der zweite Teil: stetig -> offen und abg. gezeigt ist

04.11.2010, 14:43

system-agent

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So ist es sicher falsch. In einem allgemeinen topologischen Raum gibt es keine Möglichkeit Abstände zu messen.

Du musst die allgemeine Definition der Stetigkeit nutzen:

Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: X\to Y \end{eqnarray*}$ , zwischen zwei topologischen Räumen ist stetig genau dann, wenn für jede offene Menge $\begin{eqnarray*} B\subset Y \end{eqnarray*}$ [also offen in $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ], ebenfalls das Urbild $\begin{eqnarray*} f^{-1} (Y)\subset X \end{eqnarray*}$ offen ist [also offen in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ].

04.11.2010, 14:51

lego

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hm, klar, war irgendwie auf IR fixiert

aber stimmt zumindest die idee? also ich meine, wenn ich den abstand mit umgebungen ersetze?

04.11.2010, 19:39

system-agent

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Abstand macht einfach keinen Sinn. Fertig.

Du musst die Urbilder betrachten. Sei $\begin{eqnarray*} B\subset\mathbb R \end{eqnarray*}$ offen. Dann gibt es mehrere Fälle:
(i) $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ enthält die 1 und die 0
(ii) $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ enthält die 1 aber nicht die 0
(iii) $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ enthält nicht die 1 aber die 0
(iv) $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ enthält weder die 1 noch die 0.

Nun betrachte in jedem Fall $\begin{eqnarray*} f^{-1} (B) \end{eqnarray*}$ .

06.11.2010, 12:54

lego

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ok, ich habs jetzt mal versucht, bin aber gescheitert

i) 0,1 aus B
dann besteht $\begin{eqnarray*} f^{-1}(B) \end{eqnarray*}$ aus Teilmengen aus A und aus X/A
sei b aus B
angenommen $\begin{eqnarray*} x=f^{-1}(b) \in A \end{eqnarray*}$
weil B offen, gibt es eine offene Umgebung U(b) aus B

und nun steh ich an

welche Rückschlüße kann ich von dieser Umgebung auf das Urbild dieser Umgebung schließen? dass es ebenfalls aus A ist?

übrigens: was ist bei iv) los? kann ich da überhaupt etwas aussagen?

06.11.2010, 19:09

system-agent

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Zitat:

Original von lego
i) 0,1 aus B
dann besteht $\begin{eqnarray*} f^{-1}(B) \end{eqnarray*}$ aus Teilmengen aus A und aus X/A

Nein. Wenn $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ die Null enthält, dann gilt $\begin{eqnarray*} X\setminus A\subset f^{-1}(B) \end{eqnarray*}$ [wieso?] und wenn $\begin{eqnarray*} 1\in B \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} A\subset f^{-1}(B) \end{eqnarray*}$ [wieso?].
Welche Menge muss daher auch in $\begin{eqnarray*} f^{-1}(B) \end{eqnarray*}$ liegen? Was folgt daraus?

09.11.2010, 12:27

lego

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ich hab nochmal drüber nachgedacht und glaube jetzt verstanden zu haben wieso.

f^-1(1) ist ja nicht nur ein punkt sondern mehrere, und zwar alle, die aus A sind. genauso bei f^-1(0).

also wenn f^-1(B) nun A und X/A enthält, enthält es also ganz X und muß somit X sein. X ist offen -> f stetig

bei ii) wäre f^-1(B) gleich A, da es alle Elemente aus A enthält, aber keine aus X\A wenn A also offen ist, dann ist f stetig

bei iii) färe f^-1(B) gleich X\A, X\A soll offen sein damit f stetig wäre, also muß A abg. sein

bei iv) enthält f^-1(B) weder Elemente aus A, noch aus B sein, es muß also die leere Menge sein. die leere Menge ist offen -> f stetig

stimmt das nun so?

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