z^n (komplexe Zahlen) |
| 04.11.2010, 14:01 | mr. komplex | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| z^n (komplexe Zahlen) Wieso hat die Gleichung genau n Lösungen? (für z Element der Komplexen Zahlen) (für n Element der Natürlichen Zahlen) Meine Ideen: - |
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| 04.11.2010, 14:04 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Fundamentalsatz der Algebra. Oder sollst Du die Lösungen explizit angeben? |
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| 04.11.2010, 14:05 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: z^n (komplexe Zahlen) Lies http://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_komplexen_Zahlen |
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| 04.11.2010, 14:06 | mr. komplex | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich soll beantworten wieviele Lösungen diese Geichung hat. ich habe zwar gelesen das es genau n-Stück sind, weiß jedoch nicht wie mans begründet. |
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| 04.11.2010, 14:11 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das stimmt nicht, der fundamentalsatz der algebra sagt aus, dass jedes polynom über C vollständig in linearfaktoren zerfällt. die frage ist nun, ob es n linearfaktoren (inklusive aller vielfachheiten) sein sollen oder n verschiedene lösungen, denn sicherlich hat x²+2x+1=0 nur die lösung x=-1, zerfällt aber vollständig in linearfaktoren. dein polynom hat aber auch n verschiedene nullstellen, was man allerdings nicht mit dem fundamentalsatz der algebra begründen kann, sondern hier die n-ten einheitswurzeln nützlich sind, denn das sind die nullstellen deines polynoms über C. |
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| 04.11.2010, 14:17 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es gibt die Konvention, dass mehrfache Nullstellen auch mehrfach gezählt werden. Und dann ist die Aussage richtig. Mir liegt die "zerfällt in Linearfaktoren"-Aussage allerdings auch lieber. |
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| 04.11.2010, 14:23 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sollst du denn zeigen, dass es n verschiedene sind? ...oder sollst du zeigen, dass (und das gilt für jedes polynom) es über C in n linearfaktoren zerfällt? jetzt solltets du dich genau ausdrücken, denn gerade für dein polynom trifft beides zu, es zerfällt also in n voneinander unterschiedliche linearfaktoren. edit: und ich hatte auch schon etwas dazu gesagt: Einheitswurzeln ist das stichwort 
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