Verteilungsfunktion berechnen

04.11.2010, 14:24

Gittetier

Verteilungsfunktion berechnen

Meine Frage:
Hallo, ich soll zu folgender Dichte die Verteilungsfunktion bestimmen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{pmatrix} 24x^{-4}, falls/x\geq 2 \\ 0/ sonst \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} F(x)=\int_-^- \! f(x) \, dx \\= \int_-^- \! 24x^{-4} \, dx\\ = (-8)x^{-3} \end{eqnarray*}$

mit Definitionsbereich D=[2, unendlich] (die komischen Strichlein an den Integralen sind da dran, weil ich nicht weiß, wie man ein Integral ohne Grenzen eingibt).
Das ist natrülich falsch, weil für das Integral von F(x) für x>=2 dann -1 rauskäme statt 1. Richtig muss es heißen F(x)=1-(8/x^3), falls x>=2
Aber ich verstehe nicht warum?
Danke für Eure Hilfe schonmal.
viele Grüße Gittetier

04.11.2010, 18:21

Lord Pünktchen

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RE: Verteilungsfunktion berechnen
Die zu f zugehörige Zufallsvariable X hat den Wertebereich $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Die Verteilungsfunktion hat darum den Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

http://de.wikipedia.org/wiki/Verteilungsfunktion

04.11.2010, 18:23

Cel

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Lies dir noch mal die Definition der Verteilungsfunktion durch. Deine ist falsch.

Ergänzend zum Lord:

http://de.wikipedia.org/wiki/Dichtefunkt..._Dichtefunktion

06.11.2010, 20:09

Gittetier

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Hallo, ich hab mal was versucht. Komme aber trotzdem zu einem komischen Ergebnis.
Vielleicht könnt ihr mir ja noch mal einen Tip geben.
Also. Habe Folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} F(x)= \int_{~ }^{~} \! f(x) \, dx - \int_{-\infty }^2 \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Da f(x)=0 für x<2 gilt, kann man den Bereich von - unendlic bis 2 wieder abziehen. Also:

$\begin{eqnarray*} F(x)= \int_{~}^{~} \! f(x) \, dx - \int_{-\infty }^2 \! f(x) \, dx \\ \\ = (-8)x^{-3} - \left[(-8)x^{-3}\right]_{-\infty }^{2} \\ \\ = (-8)x^{-3} -\left(-1-0\right) \\ \\ = 1 - 8x^{-3} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig so?

06.11.2010, 20:15

René Gruber

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Ist schon erstaunlich, wie du mit einer Vielzahl falscher Zwischenschritte wie etwa

Zitat:

Original von Gittetier
$\begin{eqnarray*} = (-8)x^{-3} - \left[(-8)x^{-3}\right]_{-\infty }^{2} \end{eqnarray*}$

trotzdem zum richtigen Ergebnis kommst (in der eckigen Klammer integrierst du de facto über eine Polstelle hinweg - eine Todsünde).

Es ist doch viel einfacher: Allgmein ist

$\begin{eqnarray*} F(x) = \int\limits_{-\infty}^x f(t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$

Im vorliegenden Fall ist $\begin{eqnarray*} f(t)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} t\geq 2 \end{eqnarray*}$ , damit kann man im Fall $\begin{eqnarray*} x\geq 2 \end{eqnarray*}$ verkürzt schreiben

$\begin{eqnarray*} F(x) = \int\limits_{-\infty}^2 f(t) ~ \dd t ~+~ \int\limits_2^x f(t) ~ \dd t = \int\limits_2^x f(t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$ .

07.11.2010, 15:33

Gittetier

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Okay, habs geschnallt. Aber trotzdem noch eine Frage. Was macht man denn, wenn man eine Funktion integrieren soll, die eine Polstelle hat?

07.11.2010, 15:37

René Gruber

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Das driftet jetzt von dieser Aufgabe ab, denn hier gibt es ja gar keine Polstelle - aber gut:

Das geht nur als uneigentliches Integral, von beiden Seiten an die Polstelle "herangepirscht". Dann erweist es sich, ob das Integral überhaupt existiert, und falls ja, kann man es berechnen. Augenzwinkern

10.11.2010, 12:57

Gittetier

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Okay, vielen Dank für die Antwort und deine Erklärung.
Gittetier

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