z.z zwei Funktionen gleich, wenn sie in Teilmenge gleich sind und diese dicht liegt

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lego Auf diesen Beitrag antworten »
z.z zwei Funktionen gleich, wenn sie in Teilmenge gleich sind und diese dicht liegt
Ich dreh mich hier beim beweisen des folgenden Satzes im Kreis und bräuchte Hilfe:

Seien X ein top. Raum, A eine Teilmenge von X und f und g stetige Funktionen von X in IR. Wenn f und g auf A übereinstimmen und A dicht ist in X, dann stimmen f und g auf ganz X überein.

Habs versucht mit indirketem Beweis, angenommen: f(x)=/=g(x) in X\A dann wäre für x1 aus X\A und =0 für x2 aus A. Und nun wollte ich die Dichtheit ins Spiel bringen aber schaffs formal irgendwie nicht.

Bitte um Hilfe. Kann natürlich auch sein, dass mein Anfang schon Mist ist, ka
org Auf diesen Beitrag antworten »
RE: z.z zwei Funktionen gleich, wenn sie in Teilmenge gleich sind und diese dicht liegt
, d.h es existiert a>0, so dass
f,g stetig => Es existiert eine Umgebung, so dass
 
 
lego Auf diesen Beitrag antworten »

den zweiten Teil kann ich nicht nachvollziehen
org Auf diesen Beitrag antworten »

Annahme: Es existiert ein x, so dass , d.h es existiert a>0, so dass

f,g stetig=>f-g stetig=> |f-g| stetig, d.h. für jede offene Teilmenge A aus R, h^-1(A) wieder offen (wobei h=|f-g|)

Wähle A=(a/2, unendlich), dann ist insbesondere x aus A. A offen, d.h. x ist innerer Punkt von A.
D.h. es existert eine Umgebung um x, die Teilmenge von A ist.
Insbesondere ist für alle y aus dieser Umgebung: erfüllt.



Oder hab ich da einen Fehler??
Hab nie wirklich mit top. Räumen zu tun gehabt. Hatte stehts eine Metrik...
lego Auf diesen Beitrag antworten »

wir haben hier ja auch die Betragsmetrik benutzt, also an dem solls nicht scheitern, trotzdem tu ich mir noch schwer mit deiner argumentation

bis zu "Wähle A=(a/2, undendlich)..." komm ich mit aber dann nichtmehr. Warum wählst du A so? soll A nicht beliebig sein? und warum ist dann x aus A? müsste x nicht aus h^-1(A) sein?
org Auf diesen Beitrag antworten »

> müsste x nicht aus h^-1(A) sein?
natürlich. so muss das lauten. und die umgebung ist dann teilmenge von h^-1(A).
sorry.

> Warum wählst du A so?
Es gilt für jedes A, wenn A offen ist. Also wählen wir ein beliebige offene Menge
Damits funktioniert, muss h(x) in dieser Menge liegen.

> Betragsmetrik
Es gibt aber keine Metrik auf X...
lego Auf diesen Beitrag antworten »

ok, also schritt für schritt hab ich nun verstanden, was du gemachthast, nur das endergebnis kann ich noch nicht interpretieren.

wir wollten durch ind. bewes zeigen, dass es kein x gibt, sodass f(x)=/=g(x),wie wird das nun aus lf(y)-g(y)l>a/2 ersichtlich?
org Auf diesen Beitrag antworten »

U := die umgebung ist dann teilmenge von h^-1(A).

da A={x:x>a/2}, h(U) teilmenge von A => jedes Element von h(U) > a/2.

Nun gibt es aus der dichten Teilmenge geschnitten U ein y => h(y)>a/2.


Ich weiß jetzt wo ich dich verwirrt habe. Mein A ist nicht dein A(die dichte Teilmenge! Hab vergessen, dass A schon vergeben war...)
lego Auf diesen Beitrag antworten »

sry, dass ich so blöd fragen muss, aber ich kapiers wirklich noch nicht

warum wäre h(y)>a/2 ein widerspruch?
org Auf diesen Beitrag antworten »

weil h(y)=|f(y)-g(y)| ist, und dies 0 sein müsste da f=g auf der dichten Teilmenge
lego Auf diesen Beitrag antworten »

achso, omg, danke
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