Rayleighsches Gesetz

04.11.2010, 15:49	eisley	Auf diesen Beitrag antworten »
Rayleighsches Gesetz Hallo zusammen!! Aufgabenstellung Nach dem Rayleighschen Gesetz hat die Amplitude A des Schlingerns eines Schiffes die Dichte $\begin{eqnarray} f(a) = \frac{a}{\sigma ^2}e^{-a^2 / (2 \sigma ^2)}, a > 0 \end{eqnarray}$ Berechne die mittlere Amplitude sowie Varianz des Schlingerns und $\begin{eqnarray} P (A \leq E(A)) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen Ich habe als erstes versucht, die mittlere Amplitude, d.h. den Erwartungswert, zu berechnen. Dafür erhalte ich: $\begin{eqnarray} E(A) = \int_0^\infty \! af(a) \, da = \int_0^\infty \! \frac{a^2}{\sigma^2}e^{-{a^2}/(2 \sigma ^2)} \, da \end{eqnarray}$ ich substituiere $\begin{eqnarray} x = \frac{a^2}{2 \sigma ^2} \end{eqnarray}$ und erhalte weiter $\begin{eqnarray} = \int_0^\infty \! \sqrt{2 \sigma ^2 x} \cdot e^{-x} \, dx \\ =\sqrt{2 \sigma ^2} \int_0^\infty \! x^{1/2} \cdot e^{-x} \, dx \end{eqnarray}$ nun entspricht mein $\begin{eqnarray} \int_0^\infty \! x^{1/2} \cdot e^{-x} \, dx \end{eqnarray}$ doch genau $\begin{eqnarray} \Gamma (\frac{3}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \Gamma (\frac{1}{2}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Gamma (\frac{1}{2}) \end{eqnarray}$ entspricht $\begin{eqnarray} \sqrt{\pi} \end{eqnarray}$ ich erhalte abschliessend für die mittlere Amplitude: $\begin{eqnarray} E(A) = \sqrt{\frac{\sigma ^2 \pi}{2}} \end{eqnarray}$ Meine Frage wie gehe ich nun weiter vor für die Varianz und die gesuchte Wahrscheinlichkeit? ich bin mir da ziemlich unsicher.. ist es richtig, dass die gesuchte Varianz $\begin{eqnarray} E(A^2) \end{eqnarray}$ entspricht? und wäre $\begin{eqnarray} P(A \leq E(A)) \end{eqnarray}$ nicht einfach 0.5 aufgrund der Definition des Erwartungswertes? vielen lieben Dank für eure Bemühungen und die Hilfe !! eisley
04.11.2010, 18:16	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rayleighsches Gesetz Die Varianz beträgt $\begin{eqnarray} Var(A)=E(A^2) - E(A)^2 \end{eqnarray}$ und nein: $\begin{eqnarray} P(A \leq E(A)) \end{eqnarray}$ muss man schon berechnen! Bsp.: A=1 zu P=2/3 1 und A=0 zu P=1/3; Dann ist E(A) = 2/3 aber P(A < 2/3) = P(A=0)=1/3
04.11.2010, 18:24	eisley	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rayleighsches Gesetz das mit der Varianz hab ich gesehen - und ausgerechnet! danke! .. das mit der Wahrscheinlichkeit hab ich allerdings noch nicht ganz verstanden. könntest du mir hier noch einmal helfen? vielen lieben Dank!
04.11.2010, 22:22	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rayleighsches Gesetz $\begin{eqnarray} E(A) \end{eqnarray}$ hast du ja schon berechnet, das ergab $\begin{eqnarray} \sqrt{ \frac{ \sigma^2 \pi} {2}} \end{eqnarray}$ Also ist in unserem Fall $\begin{eqnarray} P(A \leq E(A)) = P \left(A \leq \sqrt{ \frac{ \sigma^2 \pi} {2}} \right) = \int_{0}^{ \sqrt{ \frac{ \sigma^2 \pi} {2}}} f(a) ~ da \end{eqnarray}$
04.11.2010, 23:53	eisley	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rayleighsches Gesetz aah ja - hätt' ich von selbst drauf kommen müssen! Danke !

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