Was ist eine Gruppe, Körper, Ring. |
| 04.11.2010, 19:18 | mrburns | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Was ist eine Gruppe, Körper, Ring. Ich frage mich was sind Gruppen oder Körper. Wenn man eine Erklärung im Internet sucht so findet man stets nur die Kriterien für einen Körper bzw eine Gruppe. Kann man diese abstrakten Begriffe nicht irgendwie anschaulich erklären, denn wenn man es sich nicht bildlich vorstellen kann, wie soll man dann solche abstrakten Dinge begreifen. |
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| 04.11.2010, 19:29 | org | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Was ist eine Gruppe, Körper, Ring. z.B. sind die reellen Zahlen der einzige (bis auf isomorphie) vollständige geordnete Körper. D.h. alles was du für einen Körper zeigst, gilt automatich auch für R oder Q... Gruppen: z.B. die ganzen zahlen siehe: wikipedia |
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| 04.11.2010, 19:37 | mrburns | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn gruppen ganze zahlen sind, wieso führt man diese denn überhaupt ein. Zu einer gruppe gehört auch eine Verknüpfung. Die Verknüpfung + und * ist jedem bekannt. ABer wenn es andere beliebige zeichen für Verknüpfungen genommen werden, was hat das zu bedeuten. Sind für Körper außer + und * auch andere Verknüpfungen möglich? |
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| 04.11.2010, 19:40 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du wirst meiner Meinung nach große Probleme bekommen wenn du dir alles vorstellen möchtest. Das geht in der Schule noch ganz gut, in der Uni aber nicht mehr. Nungut, auch wenn ich bezweifle dass es irgendetwas bringt: Jede endliche Gruppe G kann man als Untergruppe einer Matrixgruppe schreiben. Diese Gruppe besteht aus allen bijektiven Homomorphismen des Vekorraums Genauso kann man sich jede endliche Gruppe als Untergruppe einer symmetrischen Gruppe sehen. Das sind die Permutationen auf einer bestimmten Menge. Jeder Körper mit Charakteristik 0 kannst du übrigens als Unterkörper von sehen. Gruppen,Ringe,Körper etc. führt man ein weil man nicht immer die gleichen Rechnungen für verschiedene Dinge machen will obwohl diese Rechnungen im Grunde immer dasselbe sind. Also sagt man: Gilt bla und blub dann nennen wir das ein foo. Und dann weißt man für foo eben Eigenschaften nach. Wenn du jetzt ein Objekt hast das bla und blub erfüllt, so weißt du das diese Eigenschaften automatisch gelten. |
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| 04.11.2010, 19:44 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gruppen haben eine innere Verknüpfung (mit geeigneten Regeln, neutralem Element und inversen Elementen). Beipiele: Vektorräume, denn man kann Vektoren addieren. Gruppen von Abbildungen, die Verknüpfung ist dann meist die Hintereinanderausführung von Abbildungen. Zahlen mit Addition, Zahlen (ohne Null) mit Multiplikation . In der Gruppentheorie untersucht man abstrakte Gruppen, d.h. aus den Axiomen folgt eine reichhaltige Theorie, die in der ganzen Mathematik und Naturwissenschaft gebraucht wird. Ringe und Körper haben zwei innere Verknüpfungen (meist als Addition und Multiplikation benannt). Standardbeispiel für Ringe sind die ganzen Zahlen (!), Polnomringe über Körpern und Endomorphismenringe sowie Matrizenringe. Musterbeispiele von Körpern sind Zahlkörper Q,R,C, ... , algebraische Zahlkörper (sehr interessant: siehe Zahlentheorie) und Funktionenkörper (auch sehr interessant). |
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| 04.11.2010, 19:54 | mrburns | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie kann man sonst den Umgang mit solchen Dingen erlernen. Einfach tun was die Definition sagt. |
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| 04.11.2010, 19:58 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du solltest wirklich versuchen, mit dem Vorzustellen aufzuhören. Schwierig ist es, gebe ich zu. Dennoch: Wie stellst du dir den vor? Manche Sachen habe eine "vernünftige" Veranschaulichung und andere nicht. So ist das eben. |
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| 04.11.2010, 20:03 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Den veranschauliche ich mir mit parallelen Koordinaten oder anderen geeigneten Werkzeugen. Es schadet gar nichts, wenn man seine Phantasie und Anschauung auch in der Mathematik benutzt, man darf sich davon nur nicht in die Irre führen lassen, sondern muss alles streng beweisen, bevor man der Anschauung wieder glaubt. |
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| 05.11.2010, 09:15 | Manus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das würde ich so nicht stehen lassen. Das geht allgemein nur dann, wenn der betrachtete Körper algebraisch über ist. Schließlich gibt es auch nicht-triviale Körpererweiterungen der komplexen Zahlen. Zum Thema: Eine Anschauung von einem mathematischen Begriff zu haben ist sicherlich oft praktisch und hilft einem eine gewissen Intuition in dem Bereich zu entwickeln. Trotzdem sollte man meiner Meinung nach versuchen gerade zu Beginn des Mathematikstudiums mal ein wenig Abstand von der Anschauung zu nehmen und sich auf eine rein abstrakte Arbeitsweise einzlassen. |
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| 05.11.2010, 10:21 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist aber |
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| 05.11.2010, 15:56 | galois | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Heißt das im Klartext, daß ihr euch die Dinge gar nicht vorstellt, sondern strikt die Definitionen, Sätze, Lemmas und Korollare anwendet? |
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| 05.11.2010, 19:03 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das heißt es. Nur so funktioniert Mathematik. Auch Euklid hat das so gemacht. Ich war - lange nach meinem Mathestudium - völlig überrascht und total verwundert wie streng die Mathematik (in Teilen) schon vor über 2000 Jahren war. Erstaunt war ich natürlich nur deswegen, weil ich 1. während des Studiums nicht die Zeit fand, Euklid zu lesen und 2. zu jung war, meinem Professor zu glauben, der genau das gesagt hatte. Trotzdem dürfen wir unsere Anschauung gebrauchen und sie hilft uns auch manchmal ein bißchen dabei, zu verstehen, womit wir uns beschäftigen, sie hilft uns dabei zu verstehen, womit andere Mathematiker sich (früher) beschäftigt haben, und auch bei abstrakten Begriffen ist es manchmal nützlich, Beispiele zur Hand zu haben, die man genauer verstanden hat und deren Verhalten man auf den allgemeinen Begriff korrekt übertragen kann. |
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| 05.11.2010, 19:28 | Manus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, dass ich dazu nochmal diesen Thread missbrauche. Hast du zufällig einen Link, wo ich das mal nachlesen kann? Das ist mir nämlich nicht unbedingt auf Anhieb klar. |
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