Vollständigkeit

04.11.2010, 23:18	Moritz87	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständigkeit Hallo, Meine Frage: z.Z dass $\begin{eqnarray} C^o \end{eqnarray}$ ([0,1],IR) mit der durch d(f,g) := $\begin{eqnarray} (\int_0^1 \! (f(x)-g(x))^2 \, dx)^{1/2} \end{eqnarray}$ definierten Metrik nicht vollständig ist. Mein Ansatz: Um zu zeigen, dass der Raum mit dieser Metrik nicht vollständig ist, suche ich einfach eine Cauchyfolge deren Grenzwert nicht mehr Element von $\begin{eqnarray} C^o \end{eqnarray}$ ([0,1],IR) ist? Jedoch scheitert es schon an der Angabe einer Cauchyfolge in diesem Raum. Kenne nur die Definition für Zahlen. Nimmt man dann Funktionen und zeigt dass der Abstand selbiger ab einer bestimmten Zahl x $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ IR sehr klein wird?
04.11.2010, 23:36	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Moritz, Die Definition ist genau die gleiche wie auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ . In etwa $\begin{eqnarray} \text{Sei $(f_n(x))_{n \in \mathbb N}$ eine Funktionenfolge in $C^0([0,1],\mathbb R)$.} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Dann heisst $(f_n(x))_{n \in \mathbb N}$ Cauchyfolge bezüglich $d$, wenn für alle $\epsilon >0$ ein $N \in \mathbb N$ existiert, so dass:} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n,m > N \Rightarrow d(f_n, f_m) < \epsilon \end{eqnarray}$
05.11.2010, 09:33	Moritz87	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok dann wäre doch die geeigneste Herangehensweise sich zu überlegen welche Funktion nicht in $\begin{eqnarray} C^o([0,1],IR) \end{eqnarray}$ mit der gegebenen Metrik liegen kann und dann einen Cauchyfolge zu finden die diese Funktion als Grenzwert besitzt?

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