Marginale Dichte bestimmen

05.11.2010, 11:06	Black	Auf diesen Beitrag antworten »
Marginale Dichte bestimmen Der erste Teil der Aufgabe lautet, zunächst die gemeinsame Verteilung der ZV X,Y zu bestimmen, wobei (X,Y) gleichverteilt auf einem Kreis mit radius 1 ist. Mein Ansatz hierzu war $\begin{eqnarray} \phi _{X,Y} (x,y)= c \cdot 1_{\sqrt{x^2+y^2}\leq 1} (x,y) \end{eqnarray}$ , wobei ich das c dann mittels Integrieren über R² zu $\begin{eqnarray} c= \frac {1}{\Pi} \end{eqnarray}$ bestimmt habe. Meine gemeinsame Dichte ist also $\begin{eqnarray} \phi _{X,Y} (x,y)= \frac {1}{\Pi} \cdot 1_{\sqrt{x^2+y^2}\leq 1} (x,y) \end{eqnarray}$ ich hoffe bis hier hin ist schonmal alles richtig. Nun zu meiner eigentlichen Frage, es geht nun darum die marginalen Dichten von X und Y zu bestimmen. Mein Ansatz: $\begin{eqnarray} \phi _{X} (x)= \phi _{X,Y} (x,\mathbb R )= \frac {1}{\Pi} \cdot 1_{\sqrt{x^2+y^2}\leq 1} (x,\mathbb R )=\frac {1}{\Pi} \cdot \int_\mathbb R \! 1_{\sqrt{x^2+y^2}\leq 1} (x,y ) dy = \frac {1}{\Pi} \cdot 1_{[0,1]}(x) \cdot \int_0^{1-x^2} \! 1 \, dy = \frac {1-x^2}{\Pi} \cdot 1_{[0,1]}(x) \end{eqnarray}$ Jedoch bin ich mir bei den letzten 2 Schritten unsicher, ob das so alles richtig ist. Wär nett wenn jemand mal kurz einen Blick drüber werfen könnte, ich hoffe nicht dass schon die gemeinsame Verteilung falsch ist
06.11.2010, 10:58	Black	Auf diesen Beitrag antworten »
Niemand Zeit? Ich bräuchte nur eine kurze Bemerkung ob das richtig oder totaler Murks ist
06.11.2010, 11:09	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Marginale Dichte bestimmen Die Konstante c ist korrekt. Ich nehme mal an, der Mittelpunkt deines Kreises soll der Punkt (0, 0) sein. Wieso beschränkst du dann x auf den Bereich [0,1]? Und auch die obere Grenze stimmt nicht. Welchen Wet hat y auf dem Rand des Kreises bei gegebenem x?
06.11.2010, 11:22	Black	Auf diesen Beitrag antworten »
Args, ja da hab ich ja die Hälfte weggelassen. Also müsste x aus [-1,1] und für y müsste ich eine Fallunterscheidung machen. Müsste das dann so aussehen? $\begin{eqnarray} \phi _{X} (x)= \phi _{X,Y} (x,\mathbb R )= \frac {1}{\Pi} \cdot 1_{\sqrt{x^2+y^2}\leq 1} (x,\mathbb R )=\frac {1}{\Pi} \cdot \int_\mathbb R \! 1_{\sqrt{x^2+y^2}\leq 1} (x,y ) dy = \frac {1}{\Pi} \cdot ( 1_{[0,1]}(x) \cdot \int_0^{1-x^2} \! 1 \, dy + 1_{[-1,0]}(x) \cdot \int_{x^2-1}^{0} \! 1 \, dy) \end{eqnarray}$
06.11.2010, 11:26	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst keine Fallunterscheidung machen. Du kannst doch einfach von untere Grenze bis obere Grenze integrieren. Und noch mal: Der Kreisrand hat die Gleichung: $\begin{eqnarray} x^2+y^2=1 \end{eqnarray}$ Jetzt lös das mal korrekt nach y auf, um die Grenzen des Integrals zu bekommen.
06.11.2010, 11:33	Black	Auf diesen Beitrag antworten »
Autsch ja, ich aber ja immer $\begin{eqnarray} y^2 \end{eqnarray}$ stehen lassen , aber dann hätte ich ja einmal $\begin{eqnarray} y=\sqrt {1-x^2} \end{eqnarray}$ und einmal $\begin{eqnarray} y=- \sqrt {1-x^2} \end{eqnarray}$ Also direkt $\begin{eqnarray} \frac {1}{\Pi} \cdot ( 1_{[-1,1]}(x) \cdot \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \! 1 \, dy ) \end{eqnarray}$ ?
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06.11.2010, 11:34	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist jetzt richtig!
06.11.2010, 11:36	Black	Auf diesen Beitrag antworten »
Jaja, aller guten Dinge sind drei. Danke dir für deine Hilfe

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