Ableitung einer quadratischen Funktion

13.11.2006, 20:38

definitionsluecke

Ableitung einer quadratischen Funktion

Hallo Matheexperten,

ich soll im Studium in einer Statistikveranstaltung folgende Aufgabe lösen:

(Minimierungseigenschaft des Mittelwertes) Gegeben seien Daten x1, ..., xn (1 und n sind Indexwerte).
Gesucht ist eine Zahl x, welche die quadratischen Abstände der Daten von x minimiert. Ein solches x wäre ein Maß für das Zentrum der Daten. Man zeige:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~(xi - x)² = \sum_{i=1}^n~(xi - \vec{x}n)² \end{eqnarray*}$

(i und n in den Termen sind jeweils im Index und der Vekorpfeil über dem zweiten x im zweiten Term ist eigentlich als einfacher Querstrich zu verstehen, der den Mittelwert kennzeichnet- Darstellung mit dem Formeleditor nicht Korrekt möglich)

Hinweis: Man betrachte die Funktion

f(x) = $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~(xi - x)² \end{eqnarray*}$

und leite nach x ab.

______________

Das ist die Aufgabe. Das Problem ist, dass ich seit Jahren kein Mathe mehr hatte und jetzt dastehe wie der Ochse vorm Berg. Kann mir jemand von euch den Lösungsweg möglichst eingängig erklären - mit allen Matheamtischen Gesetzen, die dabei zur Anwendung kommen?

Wäre mir eine unglaublich große Hilfe!

13.11.2006, 20:44

Geistermeister

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Zum Ableiten von
$\begin{eqnarray*} \sum_{i = 1}^{n} (xi - x)^{2} \end{eqnarray*}$
musst du einfach so tun, als wäre das Summenzeichen nicht da.
Du kannst dann nach x zusammenfassen. Die Ableitung von x²
ist einfach 2x. (i-1)² kannst du als konstant ansehen.

13.11.2006, 20:46

pseudo-nym

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Die Ableitung einer Summe ist gleich der Summe der Ableitungen der Summanden, also musst du das Summenzeichen einfach immer mitschleppen.
Sagt dir die Kettenregel noch was?

@Geistermeister: Ich glaube nicht, dass die beiden x gleich sind

13.11.2006, 21:12

definitionsluecke

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danke für die schnellen Antworten!

@pseudo-nym

die Kettenregel sagt mir ehrlich gesagt nicht mehr wirklich was. allerdings "akzeptiere" ich Deine Darstellung jetzt einfach mal so. die Ableitung einer Summe ist also gleich der Summe der Ableitungen - das ist wohl die Kettenregel?

@Geistermeister

ich kann jetzt auch soweit nachvollziehen, dass (xi - x)² abgeleitet 2(xi - x) ergibt.

Aber wie komme ich letztendlich auf:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~(xi-x(quer)n)² \end{eqnarray*}$

(-> Quer steht wiederum für den Mittelwert, i und n sind im Index...)

Wie hier plötzlich der Mittelwert ins Spiel kommt versteh ich nicht. Und wieso kann das ganze - gemäß der Aufgabenstellung - als Minimierungseigenschaft des Mittelwerts verstanden werden?

Habt ihr dafür auch ne Lösung parat?

13.11.2006, 21:23

pseudo-nym

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Also das was ich gerade wegen der Summe gesagt habe ist die Summenregel und dient nur dazu, dass wir das Sigma ignorieren können.

Die Kettenregel ist wieder eine andere Baustelle, die wir aber jetzt zum Differenzieren brauchen. Schau mal da: Kettenregel und wenn dann noch Sachen unklar sind, frag hier.

Edit: Meinst du jetzt eigentlich
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~(x_i-\bar{x_n})^2 \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~(xi-\bar{x_n})^2 \end{eqnarray*}$

13.11.2006, 21:39

definitionsluecke

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das erstere!
(an dieser Stelle gleich mal die Frage, wie hast Du das mit der Darstellung so hinbekommen)

Gut, die Kettenregel besagt:
"Die Ableitung der verketteten Funktion erhält man, indem man jede Verkettungsebene (also jede zusammensetzende Funktion) für sich ableitet und diese Ergebnisse miteinander multipliziert."

Das klingt recht vernünftig und auch nachvollziehbar.

Ich leider jetzt aber wohl an einem Wahrnehmungsproblem. Ich kann nicht erkennen wo hier eine verkettete Funktion (bzw. Teilfunktionen) vorliegen.

Könntest Du mir das plausibel erklären. Fühl mich grad wie in der Grundschule unglücklich

13.11.2006, 21:47

pseudo-nym

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Zitat:

an dieser Stelle gleich mal die Frage, wie hast Du das mit der Darstellung so hinbekommen

Das geht mit x_{i} bzw. \bar{x_{n}}

Zitat:

Ich leider jetzt aber wohl an einem Wahrnehmungsproblem. Ich kann nicht erkennen wo hier eine verkettete Funktion (bzw. Teilfunktionen) vorliegen.

Liegt daran, dass ich das Quadrat vergessen hab.
Die erste Ebene ist das Quadrat, also lässt du den Ausdruck in der Klammer unverändert und leitest nur das Quadrat ab. Diese Ableitung musst du dann noch mit der Ableitung der Funktion in der Klammer multiplizieren.

13.11.2006, 22:02

definitionsluecke

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also das Quadrat abgeleitet sollte

$\begin{eqnarray*} 2 (x_{i} - x) \end{eqnarray*}$

ergeben, oder?

Aber was ergibit sich aus der Ableitung innerhalb der Klammer, bzw. wie muss ich da vorgehen? Mich verwirren dabei vor allem die Indexwerte bei den X-Variablen.

13.11.2006, 22:06

pseudo-nym

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Du sollst nach $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ ableiten also, kannst du $\begin{eqnarray*} \bar{x_n} \end{eqnarray*}$ als Konstante behandeln und die fällt weg. Behandele $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ wie $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die Indizes musst du nur mitziehen.

13.11.2006, 22:16

definitionsluecke

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nein, ich soll laut Aufgabe nach x ableiten. $\begin{eqnarray*} \bar{x_{n}} \end{eqnarray*}$ ist anfangs ja noch gar nicht vorhanden. soll ja erst gezeigt werden, dass sich das aus der Ableitung der Ausgansfunktion ergbit.

Ich steh jetzt komplett aufm Schlauch bei der Ableitung der Werte in der Klammer. Das ich den Index i mitziehen muss "akzeptiere" ich soweit. Aber wie komme ich durch die Ableitung auf $\begin{eqnarray*} \bar{x_{n}} \end{eqnarray*}$ ?

13.11.2006, 22:57

pseudo-nym

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Also nur mal um das ganze zu entwirren:
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} \sum_{i=1}^n~(x_i - x)^2=\sum_{i=1}^n~-2(x_i-x) \end{eqnarray*}$
So viel zum anayltischen Teil. Inwiefern dir das bei der statistischen Betrachtung hilft, da bin ich überfragt.

13.11.2006, 23:09

definitionsluecke

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ich versuch mal nachzuvollziehen, wie Du jetzt noch vorgegangen bist. ist es richtig, dass wenn man den Term in der Klammer ableitet, da nach X abgeleitet werden soll $\begin{eqnarray*} x_{i} \end{eqnarray*}$ wegfällt und -x durch Ableitung zu -1 eins wird?

dieses würde dann nach meinem Verständnis mit der schon abgeleiteten äußeren Funktion $\begin{eqnarray*} 2 (x_{i} - x) \end{eqnarray*}$ multipliziert, oder?

Wenn das so ist, soweit bin ich dabei.

Aber wie ergibt sich daraus letztendlich

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~( x_{i} - \bar{x_{n}} )² \end{eqnarray*}$

?

Das ist jetzt mein grundlegendes Verständnisproblem.

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