Epsilon Umgebung

05.11.2010, 12:14

Folge

Epsilon Umgebung

Meine Frage:
Hallo,
ich hätte mal eine Frage zum Thema Folgen. Hier ein Zitat:
Man nennt diese Zahl Epsilon , diese darf man frei wählen. Das heißt, wenn man vom Grenzwert (g) die Zahl Epsilon abzieht, muss das Ergebnis kleiner sein als die gesamte Folge (g ? epsilon < an).
(aus Mathematik-Wissen.de)

Meine Ideen:
Ich weiß das die Zahl Epsilon eine beliebige Zahl sein kann, und wenn die Folge einen Grenzwert hat, gibt es ein Folgeglied das kleiner als Epsilon ist, das stimmt oder?
Aber ich kapiere nicht, was damit gemeint ist, wenn man vom Grenzwert Epsilon abzieht, dass das kleiner wie die gesamte Folge ist.

Bitte erklärts mir jemand!

05.11.2010, 12:43

Q-fLaDeN

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Das ist eine sehr komische (und teilweise falsche) Formulierung. Und das hier

Zitat:

Original von Folge
Ich weiß das die Zahl Epsilon eine beliebige Zahl sein kann, und wenn die Folge einen Grenzwert hat, gibt es ein Folgeglied das kleiner als Epsilon ist, das stimmt oder?

ist falsch.

Der Grenzwert ist als

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon>0 \; \exists N\in\mathbb{N} \; \forall n \ge N: \;\left|a_n-g \right|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

definiert. Oder anders gesagt: Wenn die Folge den Grenzwert g hat, dann ist der Abstand zwischen $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und g ab einem gewissen Index N kleiner als Epsilon. Der Index N hängt dann natürlich immer davon ab, wie man Epsilon wählt.

Benutz mal die Suchfunktion, hier gibt es zahlreiche Threads über Folgengrenzwerte.

05.11.2010, 12:46

PhyMaLehrer

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Eine Folge $\begin{eqnarray*} a_1; a_2; a_3; ... \end{eqnarray*}$ habe den Grenzwert G. Ich wähle irgendein (für gewöhnlich kleines) $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ und bilde die $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung von G, nämlich von $\begin{eqnarray*} G-\epsilon \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} G+\epsilon \end{eqnarray*}$ . Dann liegen ab einer bestimmten Nummer k alle Glieder der Folge innerhalb dieser Epsilon-Umgebung.

Beispiel: Die Folge 1/x mit den Gliedern 1; 1/2; 1/3; 1/4 usw. Ihr Grenzwert ist 0.
Als $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ werde 1/100 gewählt. Die Epsilon-Umgebung geht also von - 1/100 bis + 1/100. Ab dem 101. Glied unserer Folge liegen alle weiteren Glieder innerhalb der Epsilon-Umgebung, denn 1/101; 1/102; 1/103 usw. sind alle kleiner als Epsilon.

05.11.2010, 12:52

Folge

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Hey, danke für beide Posts!
Ich hätte noch eine Frage:
Wie findet man rechnerisch heraus, wenn man ein beliebiges Epsilon wählt, ab wann
an<Epsilon ist.
Z.b.Hier:

an= 2+(-0,5)^n
Als Epsilon wähle ich 0,05. Also ist der Epsilon Bereich doch zwischen 1,95 und 2,05.
Ab welchem Glied liegt an in Epsilon?

Danke für die Antworten!

05.11.2010, 12:57

Q-fLaDeN

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Nunja, forme doch mal

$\begin{eqnarray*} |a_n-g| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

mit eingesetzten Werten ein wenig um.

05.11.2010, 13:06

Folge

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Also
|2+((-0,5)^n)-2| < e
|(-0,5)^n| < e

Wie bekomme ich das n runter?
Tut mir leid, bin nicht geübt darin. Hammer

05.11.2010, 13:33

Folge

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Wenn ich die Wurzel verwende, dann isoliere ich n doch auch wieder nicht.
Geht der Lögarithmus? Mich verwirren nur die Betragsstriche dabei und das< Zeichen verwirrt

Könnts jemand Lösen?

05.11.2010, 14:05

klarsoweit

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Nutze erstmal $\begin{eqnarray*} |(-0,5)^n| = 0,5^n \end{eqnarray*}$ .

Dann kannst du den Logarithmus nehmen.

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