LGS mit einer Lösung

05.11.2010, 13:26

toady

LGS mit einer Lösung

Liebe Leute!

ich habe mal wieder eine frage an euch:

Ich hab ein LGS

ax+by+cz=0
cx+ay+bz=0
bx+cy+az=0

Nun soll ich zeigen, dass für alle a+b+c ungleich 0 eine eindeutige Lösung existiert. Ich hab es über die ränge versucht was ja bedeuten würde das R(A)=R(A,b)=Anzahl der Unbekannten ist. Hier ist aber R(A)=3 R(A,b)=0 und die Zahl der Unbekannten gleich 3. Ich brauche nur einen Tipp für den Ansatz smile

Lieben Dank!

05.11.2010, 18:23

Elvis

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Hast du schon Gauß versucht ? Oder Determinante ausrechnen ?

05.11.2010, 19:26

corvus

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RE: LGS mit einer Lösung

Zitat:

Original von toady
Liebe Leute! Prost

ax+by+cz=0
cx+ay+bz=0
bx+cy+az=0

Nun soll ich zeigen, dass für alle a+b+c ungleich 0 eine eindeutige Lösung existiert.
!

was hältst du von der Idee, die Frage präziser zu stellen?
zB::
- ist die Summe der drei Parameter ungleich 0
- oder soll keiner der Parameter 0 sein ?

- was stellst du dir unter "eindeutiger" Lösung vor?
...Beispiel : mit a=1,b=1,c=1 ist auch a+b+c ungleich 0 .. und es existiert
eindeutig eine Lösung .. aber ist die eindeutig? verwirrt

usw..

05.11.2010, 23:25

toady

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Ja Gauß und Determinante habe ich versucht. Bei der Determinante erhalte ich dann axayat+bybzbx+czcxcy-axbzcx-bycxaz-czaybx , aber auch damit komme ich einfach nicht weiter unglücklich

. Also nochmal um die Aufgabe päzise darzustellen:

a,b und c sind Element in R. Sie sind nicht alle gleich. Nun soll ich zeigen, dass das System:

ax+by+cz=0
cx+ay+bz=0
bx+cy+az=0

eine eindeutige Lösung hat genau dann wenn a+b+c != 0.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen Wink

05.11.2010, 23:28

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}a&b&c \\ c&a&b \\ b&c&a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was wäre zunächst, wenn gelten würde a+b+c=0. Hat die Matrix A dann vollen Rang? Liegt also nur der Nullvektor im Kern?

06.11.2010, 10:14

toady

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Also wenn a+b+c gelten würde hätte die Matrix keinen vollen Rang weil sich das dann soweit eliminieren lässt, dass X=0 Y=0 und Z=0 sind.

06.11.2010, 10:21

corvus

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Zitat:

Original von toady
Ja Gauß und Determinante habe ich versucht.

Bei der Determinante erhalte ich dann
axayat+bybzbx+czcxcy-axbzcx-bycxaz-czaybx , geschockt

aber auch damit komme ich einfach nicht weiter
:

sorry, tigerbine , wie kannst du über einen solchen Schwachsinn einfach
lässig hinweggehen - und schlicht nur Andeutungen zum Kern machen ?

oh:
da ist ja gleich noch ne neue hochschulreife Aussage zu bewundern:
Also wenn a+b+c gelten würde Freude

06.11.2010, 12:49

tigerbine

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Ebenso könnte ich mich fragen, was deine Wortspiele hier zu Lösung beigetragen haben. Den Fragesteller zu fragen, ob er das Zeichen $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ aus latex nicht kennt, wäre halt nicht so eloquent gewesen. Augenzwinkern

Bei neuen Denkansätzen rolle ich nicht erst alle alten auf. Das überlasse ich gerne demjenigen, der sie vorgeschlagen hat. Meine "nur" Andeutungen sind die Grundlage einer Hälfte des hier zu beweisenden.

Es ist die Äquivalenz: A ist regulär $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a+b+c \neq 0 \end{eqnarray*}$ (*) zu zeigen. Für eine Richtung können wir uns daher auch mit

$\begin{eqnarray*} \neg a+b+c \neq 0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \neg \end{eqnarray*}$ A ist regulär.

d.h.

$\begin{eqnarray*} a+b+c = 0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ A ist singulär.

Nun aber zu toady's Vorschlag. Hier ist doch zu zeigen, dass der Kern nicht trivial ist. Was hast du getan?

Zitat:

dass X=0 Y=0 und Z=0 sind

Die triviale Lösung angegeben. Das bringt dich keinen Schritt weiter. Welcher andere Vektor x liefert Ax=0 wohl offensichtlich, wenn a+b+c=0 gilt? Damit ist für (*) die Richtung $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ (!!!) gezeigt. (Unter uns, das ist die einfachere Richtung des Beweises Augenzwinkern

)

Wir können uns aber auch der Determinante annehmen (Elvis, ich hoffe das geht in Ordnung Wink

), damit es nicht wieder heißt, ich gehe darüber hinweg. Wir können das mit Sarrus oder Laplace machen. Vielleicht denkst du noch mal über deinen Weg nach, der dieses Monstrum erzeugt hat. (x,y,z haben da nichts drin zu suchen btw.)

$\begin{eqnarray*} \det(A)=\begin{vmatrix}a&b&c \\ c&a&b \\ b&c&a \end{vmatrix} = a^3+b^3+c^3 - 3abc \end{eqnarray*}$

Ein blöder Term. Aber wir sind klar im Vorteil. Denn wir wissen, was wir suchen. Denn es ist noch die Beweisrichtung

A ist regulär $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a+b+c \neq 0 \end{eqnarray*}$

offen. Es liegt nun nahe zu versuchen, die Determinate zu faktorisieren. Ein Faktor sollte (a+b+c) sicherlich sein. Dann kann man den Satz vom Nullprodukt anwenden. Augenzwinkern

Und wir erhalten über den Wert der Determinante schließlich das, was zu zeigen war.

Schönes Wochenende.

06.11.2010, 13:44

toady

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Danke Du hast mir sehr geholfen! Und wenn alle Ausdrücke noch nicht 100%ig stimmen tut es mir leid, aber dafür lernt man das alles ja!

Liebe Grüße und ein schönes WE!

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