Unabhängigkeit

05.11.2010, 16:42	Piranha	Auf diesen Beitrag antworten »
Unabhängigkeit Hallo zusammen, ich habe ein Problem mit folgener Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} (A_i)_{i=1}^n, A_i \subseteq \Omega \forall i \leq n, n \in N \end{eqnarray}$ eine stochastisch unabhängige Familie von Ereignissen und sei $\begin{eqnarray} (I_j)_{j=1}^k \end{eqnarray}$ eine Partition der Menge {1,...,n}, d.h. $\begin{eqnarray} \{I_j\}_{j=1}^k \end{eqnarray}$ paarweise disjunkt und $\begin{eqnarray} I_1 \cup I_2 \cup ... \cup I_k = I = \{1,...,n\}, k \in N \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: a) $\begin{eqnarray} \left\{ \bigcup\limits_{i \in I_j} A_i\right\}_{j=1}^k \end{eqnarray}$ sind unabhängig. In der Vorlesung gab es den Tip das ganz per Iteration zu lösen. Leider bin ich kein Mathematikstudent und kann mit dem Tip nich so viel anfangen. Eine Lösungsansatz kann ich daher auch nicht wirklich präsentieren, außer zu Beginn vielleicht die einzelnen Vereinigungen aufzuschreiben, wie ich intuitiv beginnen würde. Es würde mich freuen, wenn mir jemand aushelfen könnte!
05.11.2010, 18:14	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Es soll heißen, dass es genügt, wenn du das für $\begin{eqnarray} (k-1) \end{eqnarray}$ einelementige Menge $\begin{eqnarray} I_1,\ldots,I_{k-1} \end{eqnarray}$ und lediglich eine, und dann auch nur zweielementige Menge $\begin{eqnarray} I_k \end{eqnarray}$ nachweist. In dem Fall ist dann ja $\begin{eqnarray} k=n-1 \end{eqnarray}$ , du kannst sogar o.B.d.A. $\begin{eqnarray} I_j &=& \{j\} \;\mbox{für}\; j=1,\ldots,n-2 \\ I_{n-1} &=& \{n-1,n\} \end{eqnarray}$ annehmen. Durch endlich viele solche Operationen (natürlich dann mit Vertauschung/Umnumerierung mit verschiedenen k's und n's) folgt daraus dann auch die Behauptung.
05.11.2010, 19:42	Piranha	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo René, danke für deine Antwort. Ich glaube was genau die Iteration bedeuten soll habe ich nun einigermaßen verstanden. Umsetzen kann ich das aber irgendwie nicht... Ich habe versucht mir ein "Beispiel" zu überlegen, in dem meine Indexmenge I=5 ist. Nun zerlege ich diese Indexmenge I in $\begin{eqnarray} I_1,I_2,I_3 \end{eqnarray}$ . Wenn ich den Zusammenhang richtig verstanden habe, so liegen jetzt die Teilereignisse in verschiedenen Teilen der Indexmengen. Z.B. $\begin{eqnarray} A_1 \text{und} A_2 \text{in} I_1; A_3, A_4 \text{in} I_2; A_5 \text{in} I_3 \end{eqnarray}$ . Ich erhalte somit drei Teilmengen (???) $\begin{eqnarray} \bigcup\limits_{i \in I_1} A_i = A_1 \cup A_2, \bigcup\limits_{i \in I_2} A_i = A_3 \cup A_4, \bigcup\limits_{i \in I_3} A_i = A_5 \end{eqnarray}$ . Ist das soweit richtig? Wie würde ich denn damit dann weitermachen? Mich verwirren diese ganzen verschiedenen Indizes total... Und was du für den Beweis eigentlich meinst ist, dass ich das ganze immer nur mit einem $\begin{eqnarray} A_i \end{eqnarray}$ in jedem $\begin{eqnarray} I_j \end{eqnarray}$ versuchen soll?

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