kleinste Untergruppe (LA1 - Köln)

05.11.2010, 17:08

Nadelspitze

kleinste Untergruppe (LA1 - Köln)

Nach irgendeinem Vorschlag hier, also nun mit Uni im Threadtitel

a) Sei G eine Gruppe und $\begin{eqnarray*} A\subseteq G \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} E(A) \end{eqnarray*}$ definiert durch
$\begin{eqnarray*} E(A):= \left\{a_{1}*...*a_{n} | n\in \mathbb N ,a_{i} \in A oder a_{i}^{-1} \in A \right\} \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} E(A) \end{eqnarray*}$ die kleinste Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist, die A enthält, d.h.

(i) $\begin{eqnarray*} E(A) \subseteq G \end{eqnarray*}$ Untergruppe
(ii) Ist $\begin{eqnarray*} U \subseteq G \end{eqnarray*}$ Untergruppe mit $\begin{eqnarray*} A \subseteq U \end{eqnarray*}$ , so folgt $\begin{eqnarray*} E(A) \subseteq U \end{eqnarray*}$ .

Wie sieht E(A) aus für den Fall, dass A einelementig ist?

Überlegungen:

Was weiß ich:
(G, *) ist eine Gruppe
$\begin{eqnarray*} A\subseteq G \end{eqnarray*}$ -> E(A) heißt von A erzeugte Untergruppe falls $\begin{eqnarray*} E(A) \cap N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A\subseteq N \subseteq M \end{eqnarray*}$
wobei (N,*) eine Untergruppe von (M,*) ist

***************
Woher kommt das N? Was hat es mit dem Schnitt zu tun? Kann mir das jemand kurz erklären?
***************

Im Prinzip wird hier ja schon gesagt, in welcher Reinfolge man durchgehen muss aber ich habe ein Problem mit E(A).

Eigentlich gibt es ja, bis auf 0(wenn es den gibt) keinen Wert in A, der nicht in E(A) enthalten ist oder?

Ich muss ja jetzt erst einmal zeigen, dass $\begin{eqnarray*} E(A) \subseteq G \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe ist.

dafür habe ich einen Satz 3.24.

Zitat:

Sei (M,*) eine Gruppe. Dann ist folg. Bed. äquivalent:
(i) (N,*) ist eine Untergruppe von (M,*)
(ii) $\begin{eqnarray*} N\subseteq M \end{eqnarray*}$ und es gilt:
$\begin{eqnarray*} \forall x,y \in N: x*y^{-1}\in N \end{eqnarray*}$

Aber was genau mache ich damit?
Ich kann jetzt wie in meinem Beispiel schreiben:

Seien $\begin{eqnarray*} a_1,a_2 \in E(A). \end{eqnarray*}$ Da E(A) eine Gruppe ist, ist auch $\begin{eqnarray*} a_1^{-1} \in E(A) \end{eqnarray*}$ . Damit ist auch $\begin{eqnarray*} a_1 * a_2^{-1} \in E(A) \end{eqnarray*}$

Muss ich hier tatsächlich noch zeigen, dass ein neutrales Element gibt und das $\begin{eqnarray*} a_i^{-1} \end{eqnarray*}$ das Inverse von $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ ist?

Oder habe ich mit dem kurzen Punkt da oben bereits bewiesen, dass (E(A),*) eine Untergruppe von (G,*) ist (ja wohl er nicht)?

05.11.2010, 17:19

kiste

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RE: kleinste Untergruppe (LA1 - Köln)

Zitat:

Original von Nadelspitze
Was weiß ich:
(G, *) ist eine Gruppe
$\begin{eqnarray*} A\subseteq G \end{eqnarray*}$ -> E(A) heißt von A erzeugte Untergruppe falls $\begin{eqnarray*} E(A) \cap N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A\subseteq N \subseteq M \end{eqnarray*}$
wobei (N,*) eine Untergruppe von (M,*) ist

***************
Woher kommt das N? Was hat es mit dem Schnitt zu tun? Kann mir das jemand kurz erklären?
***************

Da fehlt die komplette Aussage? Sieht jedenfalls komisch aus.

Zitat:

Da E(A) eine Gruppe ist

Das musst du doch gerade in Teilaufgabe (i) zeigen

05.11.2010, 17:29

Nadelspitze

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RE: kleinste Untergruppe (LA1 - Köln)

Zitat:

Original von kiste

Zitat:

Da fehlt die komplette Aussage? Sieht jedenfalls komisch aus.

Meine Def lauet:
Sei (M,*) eine Gruppe
$\begin{eqnarray*} L\subseteq M \end{eqnarray*}$ -> (H(L),*) heißt von L erzeugte Untergruppe falls $\begin{eqnarray*} H(L) \cap N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} L\subseteq N \subseteq M \end{eqnarray*}$
wobei (N,*) eine Untergruppe von (M,*) ist

Verstehe die Definition aber leider nicht ganz.

Zitat:

Original von kiste

Zitat:

Da E(A) eine Gruppe ist

Das musst du doch gerade in Teilaufgabe (i) zeigen

Ich dachte es sei klar, dass es eine Gruppe ist und ich müsse nur Beweisen, dass es eine Untergruppe ist.
Also muss ich erst beweisen das es eine Gruppe ist und danach zeigen, dass es eine Untergruppe ist?

05.11.2010, 17:36

kiste

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Nein die Definition lautet bestimmt anders. $\begin{eqnarray*} H(L)\cap N \end{eqnarray*}$ ist keine Aussage.

Untergruppen bzw. Gruppe zu zeigen ist dasselbe, da alle Eigenschaften die zu einer Gruppe fehlen direkt aus der Tatsache folgen dass die Untergruppe eine Teilmenge der Gruppe ist und die Verknüpfung gleich gewählt wurde

05.11.2010, 17:41

Nadelspitze

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Zitat:

Original von kiste
Nein die Definition lautet bestimmt anders. $\begin{eqnarray*} H(L)\cap N \end{eqnarray*}$ ist keine Aussage.

Untergruppen bzw. Gruppe zu zeigen ist dasselbe, da alle Eigenschaften die zu einer Gruppe fehlen direkt aus der Tatsache folgen dass die Untergruppe eine Teilmenge der Gruppe ist und die Verknüpfung gleich gewählt wurde

$\begin{eqnarray*} H(L) = \cap N \end{eqnarray*}$

entschuldigung

06.11.2010, 13:41

Nadelspitze

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Hmm.

würde gern noch einmal komplett von vorn anfangen.

Hilfe

vielleicht kann mich jemand mal durch so einen beweis einer gruppe an der hand führen weil irgendwie scheine ich das nicht so richtig verstehen zu wollen :-(

Ich muss also zunächst beweisen, dass E(A) eine Gruppe ist!?

Dazu muss ich

(i)Verknüpfung
$\begin{eqnarray*} \forall x,y \in M: x*y \in M \end{eqnarray*}$

(ii)Assoziativität
$\begin{eqnarray*} \forall x,y\in M: (x*y)*z = x*(y*z) \end{eqnarray*}$

(iii)neutrales Element
$\begin{eqnarray*} \exists e\in M:\forall x\in M : e*x=x*e=x \end{eqnarray*}$

(iv)inverses Element
$\begin{eqnarray*} \forall x \in M \exists y\in M: x*y=e \end{eqnarray*}$

ganz im Ernst, ich hab irgendwie keine so richtige Ahnung...

deswegen wäre es echt schön, wenn mir jemand einfach noch mal zeigen könnte, was ich jetzt genau machen muss.

(i)
Ich weiß ja, dass $\begin{eqnarray*} a_i, a_i^{-1} \in E(A) \end{eqnarray*}$ oder?
wie zeige ich jetzt aber, dass
$\begin{eqnarray*} \forall a_i \in E(A): a_i*a_{i+1} \in E(A) \end{eqnarray*}$ ?

also einfach ein step by step wäre super, so dass ich wirklich jeden Schritt verstehen kann.

Ich dachte nämlich bis gestern, dass ich dadurch, dass $\begin{eqnarray*} A \subseteq G \end{eqnarray*}$ und E(A) definiert durch A bereits weiß, dass E(A) eine Gruppe mit neutralem Element und inversen ist und das dieses neutrale Element genau das gleiche ist, wie in G und A.

Ich bitte euch also um Hilfe smile

10.11.2010, 22:44

LoBi

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Habe die selbe Aufgabe, und mich mal an dem Beweis zu i) versucht:
Beh: $\begin{eqnarray*} E(A) \subseteq G \end{eqnarray*}$ Untergruppe

Bew:
Sei $\begin{eqnarray*} x,y \in E(A) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x=a_1\cdot...\cdot a_i \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} y=a_1\cdot...\cdot a_j \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\cdot y=(a_1\cdot...\cdot a_i)\cdot(a_1\cdot...\cdot a_j) (\in E(A)) \end{eqnarray*}$
----

Sei $\begin{eqnarray*} x,y \in E(A) \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} x=a_1\cdot...\cdot a_i \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} y=a_{y_{1}}\cdot a_{y_{1}}^{-1}\cdot...\cdot a_{y_{j}}\cdot a_{y_{j}}^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \cdot y = (a_1\cdot...\cdot a_i) \cdot a_{y_{1}}\cdot a_{y_{1}}^{-1}\cdot...\cdot a_{y_{j}}\cdot a_{y_{j}}^{-1}<br /> =(a_1\cdot...\cdot a_i) \cdot a_{y_{1}}\cdot a_{y_{1}}^{-1}\cdot...\cdot a_{y_{j-1}}\cdot a_{y_{j-1}}^{-1}<br /> =(a_1\cdot...\cdot a_i) \cdot a_{y_{1}}\cdot a_{y_{1}}^{-1}\cdot<br /> =(a_1\cdot...\cdot a_i) \cdot e =(a_1\cdot...\cdot a_i) = x \end{eqnarray*}$

----

Sei $\begin{eqnarray*} x,y \in E(A) \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} x=a_1\cdot...\cdot a_n \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} y=a_n^{-1}\cdot ...\cdot a_1^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x\cdot y=a_1\cdot...\cdot a_n \cdot a_n^{-1}\cdot ...\cdot a_1^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =a_1\cdot...\cdot a_{n-1} \cdot a_{n-1}^{-1}\cdot ...\cdot a_1^{-1} =a_1\cdot a_1^{-1} = e \end{eqnarray*}$

Ist das soweit korrekt ?

11.11.2010, 10:05

LoBi

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Guten morgen liebe Sorgen.
Ich könnte hier immer noch Hilfe gebrauchen

auch zur ii)
Sei $\begin{eqnarray*} U \subseteq G \end{eqnarray*}$ Untergruppe , $\begin{eqnarray*} A \subseteq U \end{eqnarray*}$
Dann folgt U enthält mindestens ein Element von G ?
Hab da noch keine Idee ?

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