Folge und vollständige Induktion

05.11.2010, 22:44	MaPhManni	Auf diesen Beitrag antworten »
Folge und vollständige Induktion Hey Leute, ich habe eine Frage bezüglich einer Aufgabenstellung. Die Aufgabe wurde von mir selbst ein wenig verändert, damit ich es bei der eigentlichen dann selbst versuche. Sei $\begin{eqnarray} a_n = 1 \end{eqnarray}$ und für jedes $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} a_{n+1} \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} a_{n+1} = \displaystyle{\frac{1}{3} a_n + 1} \end{eqnarray}$ . 1. Beweise durch vollständige Induktion, dass für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \quad a_n < 4 \end{eqnarray}$ richtig ist. 2. Benutzen Sie wieder vollständige Induktion, um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} a_n < a_{n+1} \end{eqnarray}$ gilt. Meine Idee : 1. Ich hab durch für ein belibieges $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ die Folge auf $\begin{eqnarray} a_n = (\frac{1}{3})^{n-1} + \sum_{k=0}^{n-2} (\frac{1}{3})^k \end{eqnarray}$ beschrieben. Durch vollständige Induktion muss ich ja nun zeigen, dass weiter folgendes gilt : $\begin{eqnarray} a_n = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{3})^{n-1} \end{eqnarray}$ . Mit Hilfe von $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} a_n = \frac{3}{2} \end{eqnarray}$ habe ich diesen Teil doch bewiesen, oder? Oder sollte ich eventuell noch schreiben, dass $\begin{eqnarray} \frac{3}{2} \end{eqnarray}$ das Infimum darstellt? 2. Hier bin ich Ahnungslos, da ich den Beweis dank Aufgabenteil 1 als offensichtlich ansehe... Danke für Hilfe. Edit : Sollte eigentlich in die Analysis - verklickt.
06.11.2010, 00:25	org	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folge und vollständige Induktion Warum so umständlich?? 1.) Induktionsanfang: a_1=1<4, passt also. Induktionsschritt: wir wissen, a_n<4 a_{n+1}=1/3*a_n+1 < 4/3+1 = 7/3 < 4 2. so ähnlicht. betrachte die Differenz von a_{n+1} - a_n

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