Flussintegral durch Halbkugel

06.11.2010, 12:30

Physinetz

Flussintegral durch Halbkugel

Hallo,

ich möchte den Fluss von $\begin{eqnarray*} \vec{v} =\begin{pmatrix} xy\\ yz \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ durch meine Oberfläche die durch eine Halbkugel gegeben ist berechnen:
Halbkugel: $\begin{eqnarray*} x²+y²+z²=1, z>0 \end{eqnarray*}$ .

Los gehts:

Es handelt sich hier ja um ein Oberflächenintegral 2. Art gemäß:

$\begin{eqnarray*} \int_F \vec{f} ~ d\vec{f} = \int_B \vec{f}(\vec{x} (u,v))*(\vec{x}_u(u,v) ~ \times ~ \vec{x}_v(u,v)) dB \end{eqnarray*}$

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Nun habe ich versucht die Halbkugel in Kugelkoordinaten auszudrücken, dabei sind 2 Fragen aufgetaucht:

1) Warum laufen die Kugelkoordinaten für den Polarwinkel $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ nur von $\begin{eqnarray*} 0<=\theta<=\pi \end{eqnarray*}$ . Hierdurch erhält man doch immer nur Koordinaten auf der oberen Halbkugel, die untere Halbkugel würde meiner Ansicht (die natürlich falsch ist, nur wieso?) nur erreicht werden durch $\begin{eqnarray*} 0<=\theta<=2\pi \end{eqnarray*}$

2) Eine Halbkugel habe ich mir dann überlegt wird parametrisiert in Kugelkoordinaten durch:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} (r, \theta, \varphi )=\begin{pmatrix} r*sin\theta*cos\varphi \\ r*sin\theta*sin\varphi \\ r*cos\theta \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier dann mit $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 0\leq \theta<\frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0\leq \varphi<\pi \end{eqnarray*}$

Wie würde man auf die Parametrisierung kommen ohne, dass man sich es gedanklich überlegt? Müsste man dazu die jeweiligen Komponenten der Parameterdarstellung in die implizite Darstellung einsetzen und dann irgendwie auflösen nach r bzw den beiden Winkeln?

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Weiter mit der Aufgabe:

Nun muss ich ja um das Kreuzprodukt ausrechnen zu können, 2 Vektoren erhalten. Diese erhalte ich wenn ich nun meine Parameterdarstellung $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ wie in der Formel angegeben nach u und v partiell ableite. Anschließend dann noch das Kreuzprodukt ausführe.

Nur mein Problem ist, das meine Parameterdarstellung nun nicht von 2 Parametern abhängig ist, sondern von 3: $\begin{eqnarray*} \vec{x} (r, \theta, \varphi ) \end{eqnarray*}$ , die Frage ist also, nach welchen beiden Parametern ich partiell differenziere?
In Aufgaben im Internet wird automatisch nach $\begin{eqnarray*} \theta, \varphi \end{eqnarray*}$ differenziert, nur wieso?

Joar das wären mal meine Verständnisfragen dazu...Vielleicht weiß ja jemand Rat..

Ein netter Gruß vom Physinetz (bin übrigens kein Physiker ;-) ) Freude

06.11.2010, 12:39

iammrvip

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Hai.

Hattet ihr schon den Satz von Gauß?

Nun, wie kann man sich die Kugelkoordinaten bildlich vorstellen?

Man nehme sich einen Ortsvektor zu unserem Punkt P im Bild und $\begin{eqnarray*} r_{xy} \end{eqnarray*}$ sie die senkrechte Projektion in die x-y-Ebene. Dann ergibt sich leicht die Bedeutung:

Wir müssen den Vektor natürlich um den Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ strecken, denn r gibt ja gerade den Abstand vom Ursprung zu P an.

$\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist der Winkel zwischen der positiven x-Achse und $\begin{eqnarray*} r_{xy} \end{eqnarray*}$ gemessen wird, von $\begin{eqnarray*} 0..2\pi \end{eqnarray*}$ im mathematischen Uhrzeigersinn.

$\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ ist der Winkel zwischen der positiven z-Achse und r, gemessen von $\begin{eqnarray*} 0..\pi \end{eqnarray*}$ .

06.11.2010, 12:47

Physinetz

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Hmm indirekt, hatten den Satz von Green.

Wieso gehts einfacher?

06.11.2010, 13:02

iammrvip

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Der Integralsatz von Gauß gibt einen Zusammenhang zwischen der Divergenz eines Vektorfeldes und dem durch das Feld vorgegebenen Fluss durch eine geschlossene Oberfläche her.

D.h. die Divergenz über das Volumen integriert ist gleich dem Fluss durch die Fläche. In Zeichen
$\begin{eqnarray*} \int_V \mathrm{div}\,\mathbf F\,\mathrm dV = \oint_S \mathbf F\cdot \mathrm d\mathbf S \end{eqnarray*}$

Was natürliche viele Rechnungen vereinfacht.

Wenn ihr dies aber noch nicht eingeführt habt, sollt ihr hier sicher naiv rechnen. Das macht die Sache natürlich etwas aufwendiger, aber nicht schlimmer.

Du hast in deiner Aufgabe aber doch einen Radius gegeben, wie du schon richtig schriebst: $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ , damit hängt deine Parametrisierung auch nur von den Winkelvariablen $\begin{eqnarray*} \varphi, \theta \end{eqnarray*}$ ab.

Warum wird nicht nach dem Radius integriert? Nunja, wir sind beim Oberflächenintegral an der "infinitesimal großen" Tangentialebene des Graphen interessiert. Diese ist jedoch unabhängig vom Abstand des Punktes (in unserer Skizze P) vom Ursprung.

06.11.2010, 13:31

Physinetz

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Ok mit dem Satz von Gauss gehts natürlich ratz-fatz ;-)

2 Finale Fragen:

1) Du sagtest

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ ist der Winkel zwischen der positiven z-Achse und r, gemessen von $\begin{eqnarray*} 0..\pi \end{eqnarray*}$ .

Aber was wäre wenn mein Punkt unterhalb der xy-Ebene wäre, also eine negative z-Koordinate hätte. Dann müsste doch mein $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ größer sein als $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ um quasi "unterhalb der xy-Ebene zu gelangen".

Hoffe du verstehst das?

2) Was hat es denn mit dem S auf sich? Das ist ja die Umrandung, hier also die Oberfläche meiner Kugel. Über diese muss ich integrieren, wie bekomme ich denn da die Grenzen heraus? Und das dS muss ich glaube ich auch noch umschreiben so wie ich das im Internet verstanden habe?

Vielen Dank schonmal für deine ausführliche Hilfe iammrvip Freude

06.11.2010, 13:46

iammrvip

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Zitat:

Original von Physinetz
Aber was wäre wenn mein Punkt unterhalb der xy-Ebene wäre, also eine negative z-Koordinate hätte. Dann müsste doch mein $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ größer sein als $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ um quasi "unterhalb der xy-Ebene zu gelangen".

Zur Anschauung ist sogar besser, wenn man sich den Winkel denkt als $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$
Das ist natürlich auch äquivalent zur obigen Formulierung (Warum?).

Zitat:

2) Was hat es denn mit dem S auf sich? Das ist ja die Umrandung, hier also die Oberfläche meiner Kugel. Über diese muss ich integrieren, wie bekomme ich denn da die Grenzen heraus? Und das dS muss ich glaube ich auch noch umschreiben so wie ich das im Internet verstanden habe?

$\begin{eqnarray*} \mathrm d\mathbf S \end{eqnarray*}$ bezeichnet das Oberflächenelement, bei dir $\begin{eqnarray*} \mathrm d\vec f \end{eqnarray*}$ .

Die Frage ist hier: Wie ist das Oberflächenintegral definiert? Du hast es oben schon richtig beschrieben (auch die Winkel). Jetzt einfach nur noch anwenden und ausrechnen.

13.11.2010, 14:00

Physinetz

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Hallo iammrvip,

mir ist noch eine Frage gekommen: Wenn ich den FLuss mittels Oberflächenintegral 2.Art berechne erhalte ich 3/2 pi , mittels dem Satz von Gauss pi/2.

Ergebnisse stimmen soweit, nur die Frage ist wieso?

Habe jeweils mittels Kugelkoordinaten eine Halbkugel parametrisiert.

Woher kommt der Unterschied?

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