poisson-verteilung

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kolmo Auf diesen Beitrag antworten »
poisson-verteilung
hi!
ich habe folgende aufgabe zu lösen:
Einem Busfahrer ist bekannt, dass 5% der gebuchten Plätze einer Kaffeefahrt nicht angetreten werden. der unternehmer verkauft für eine kaffeefahrt 320 fahrscheine, bei einer kapazität von 300 plätzen. wie groß ist die w-keit, dass zu der kaffeefahrt mehr personen erscheinen, als es plätze im bus gibt?

a) mit poisson-verteilung berechnen
b) direkt berechnen (binomialverteilung)


mit der aufgabe habe ich meine probleme. folgendes:
es gilt ja

das ist die poisson-verteilung. jetz muss ich da alles aus der aufgabe reinbringen. ich hab gedacht, ich könnte doch die wahrscheinlichkeit berechnen, dass 301 leute kommen, dann dass 302 kommen, und so weiter, bis eben 320, das summieren, dann hätte ich die aufgabe gelöst. damit hab ich gerade aber probleme.
ist ja der erwartungswert habe ich gelesen, bzw. mittlere fehlerzahl pro einheit.. ich kann dem aber keinen wert aus der aufgabe zuordnen, ist das jetz 16 (5% von den 300 leuten), oder 300, weil das die erwarteten sind, oder was?
also k dachte ich setze ich 301, dann 302, .., dann 320 um die wahrscheinlichkeiten zu bekommen. ich denke aber, da sind einige fehler in meiner bisherigen überlegung.

direkt habe ich noch nicht versucht, das zu berechnen. das geht ja dann wohl mit binomialkoeff. bin auch da über tipps dankbar.

kann mir jemand helfen?
kolmo Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, wegen den fehlern in den formeln, hier sind sie nochmals:
die erste war das:




dann noch das:
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du mit der Binomialverteilung rechnest, sollte das kein Problem sein. Du berechnest entweder die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 300 Leute kommen oder die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 19 nicht kommen. n ist immer 320. Im ersten Fall ist p = 0,95 und im zweiten Fall ist p = 0,05.

Wenn man die Binomialverteilung durch die Poissonverteilung annähert, ist darauf zu achten, dass man p klein wählt. Du näherst also den Fall mit p = 0,05. Für ist der Erwartungswert der zugehörigen Binomialverteilung einzusetzen, also

kolmo Auf diesen Beitrag antworten »

hi huggy,
erst mal vielen vielen dank für deine antwort. das hat mich schonmal weitergebracht. mit dem binomialkoeff. habe ich die aufgabe gelöst, ich habe raus, dass da knapp 82% zu viele leute da sein werden.

mit poisson habe ich aber noch ein kleines problem.
mein vorschlag mit passt ja dann (war bei mir eher intuitiv, danke für die formel).
jetzt habe ich die summe gebildet über die Poisson-verteilungsfkt. von k=1 bis k=19 und erhalte etwa 81 %. das sieht doch gar nicht schlecht aus.
stimmt das denn?
mir ist aber noch nicht komplett klar, warum hier die summe von 1 bis 19 läuft, also bzw., das heißt ja dann, ich summiere die wahrscheinlichkeiten, dass einer zu viel kommt, dass 2 zu viel kommen,.., dass 19 zu viel kommen, oder?

warum weiß ich aber, dass es heißt, so viele sind zu viel, wenn ich poisson anwende? das steckt wahrscheinlich irgendwie in den 16 drin, oder?
kolmo Auf diesen Beitrag antworten »

oder besser: nicht 1 zu viel, 2 zu viel, ..., sondern 1 von den 320 nicht kommt, dass 2 von den 320 nicht kommen,..., dass 19 von den 320 nicht kommen

(sorry, kann nicht editieren)
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kolmo
warum weiß ich aber, dass es heißt, so viele sind zu viel, wenn ich poisson anwende? das steckt wahrscheinlich irgendwie in den 16 drin, oder?

Du steckt das in die Poissonverteilung hinein, wenn du mit rechnest. Denn das basiert ja auf p = 0,05 und das ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand nicht kommt. Und wenn 0 bis 19 Leute nicht kommen, dann kommen doch 301 bis 320 Leute und das 1 bis 20 zu viele.

Wenn du den Term für k = 0 noch mitnimmst - und der gehört dazu - wird die Übereinstimmung mit der Binomialverteilung noch besser.
 
 
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