Basis und Dimension des Kerns bestimmen

06.11.2010, 14:35	Tim0989	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis und Dimension des Kerns bestimmen Meine Frage: Hallo, wir haben von unserem Matheprofessor zwei nette Übungsaufgaben bekommen?. Ich versuche schon eine ganze Weile die Aufgaben zu lösen, habe aber keine Ahnung, ob mein Lösungsansatz richtig ist??? Vielleicht kann mir jemand von euch helfen! Aufgabe 1: Wir betrachten die lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ : R^3 --> R^2 mit $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} X_1-X2 \\ X_2-X3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bestimmen Sie eine Basis des Kerns ker( $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ) dieser linearen Abbildung. Wie groß ist die Dimension des Kerns Aufgabe 2: Für welche reellen Zahlen a ist die Matrix A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & 2\\ 2 & a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Aufgabe: 1 Um die Basis des Kerns zu ermitteln habe ich zwei Gleichungen aufgestellt. I: X1-X2=0 II: X2-X3=0 Im zweiten Schritt habe ich das Gleichungssystem umgeformt. I: X1-X2=0 /-X1 -X2=-X1 (-1) X2=X1 II: X2-X3=0 /-X2 -X3=-X2 (-1) X3=X2 X2=X1 und X3=X2 daraus folgt, dass der Kern des Vektors $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist Die Dimension wäre somit 1 Aufgabe2: Im ersten Schritt habe ich die Matrix gelöst, also den Rang (A) berechnet. Aus A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a & 2\\ 2 & a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ folgt: a= 2 und -2 rang (A)= 2 und -2 d.h. für 2 und -2 wird die Matrix regulär. Eine Matrix ist regulär, wenn rang(A)= n

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