Wahrscheinlichkeitsfunktion/Erwartungswert

06.11.2010, 14:42

Hilfsbedürtiger

Wahrscheinlichkeitsfunktion/Erwartungswert

Meine Frage:
Hallo Forumsnutzer!

Die Aufgabe lautet:
Es sei eine Wahrscheinlichkeitsfunktion gegeben durch
p(i) = 2^(-1-i);
i sei Element der natürlichen Zahlen und p = 0 sonst. Ferner sei X eine Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeitsfunktion p.
Berechne E X.

Meine Ideen:
Normalerweise ist eine Berechnung des Erwartungswertes ja trivial, aber wie muss ich an die Aufgabe rangehen, wenn ich keine genauen Vorgaben für i habe, mit denen ich rechnen soll?

Vielen Dank für die Hilfe im Voraus!

06.11.2010, 16:45

Huggy

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RE: Wahrscheinlichkeitsfunktion/Erwartungswert
Du hast doch genaue Vorgaben für i, nämlich alle natürlichen Zahlen. Der Erwartungswert ist also eine unendliche Reihe. Sie ist leicht formelmäßig zu summieren.

06.11.2010, 18:40

Hilfsbedürftiger

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RE: Wahrscheinlichkeitsfunktion/Erwartungswert

Zitat:

Original von Huggy
Du hast doch genaue Vorgaben für i, nämlich alle natürlichen Zahlen. Der Erwartungswert ist also eine unendliche Reihe. Sie ist leicht formelmäßig zu summieren.

Danke für die schnelle Reaktion.
Ist das dann eine geometrische Reihe?

06.11.2010, 21:12

Huggy

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RE: Wahrscheinlichkeitsfunktion/Erwartungswert
Die Summe für den Erwartungswert ist keine geometrische Reihe. Sie lässt sich aber durch Ableiten aus der geometrischen Reihe gewinnen.

07.11.2010, 10:19

Hilfsbedürftiger

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RE: Wahrscheinlichkeitsfunktion/Erwartungswert

Zitat:

Original von Huggy
Die Summe für den Erwartungswert ist keine geometrische Reihe. Sie lässt sich aber durch Ableiten aus der geometrischen Reihe gewinnen.

Wärst du so nett und würdest mir dazu noch einen Tipp geben?
Die Reihe wäre ja praktisch: i*2^(-1-i)
Eine geometr. Reihe wäre es aber nur mit i*2^(i) = 1/(1-2)²
Wie muss ich das dann verändern um die (-1) zu berücksichtigen?

07.11.2010, 10:50

Huggy

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RE: Wahrscheinlichkeitsfunktion/Erwartungswert
Gesucht ist

$\begin{eqnarray*} E(X)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}i2^{(-1-i)}=\sum\limits_{i=0}^{\infty}i(\frac{1}{2})^{i+1} \end{eqnarray*}$

Um die Differentialrechnung anwenden zu können, wird statt 1/2 ein allgemeiner Faktor q betrachtet. Es sei:

$\begin{eqnarray*} S(q)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}iq^{i+1} \end{eqnarray*}$

Man hat dann

$\begin{eqnarray*} E(X)=S(\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

Nun gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{\infty}iq^{i+1}=q^2\sum\limits_{i=0}^{\infty}iq^{i-1}=q^2\frac{d}{dq}\sum\limits_{i=0}^{\infty}q^i \end{eqnarray*}$

Damit ist das Problem auf die Ableitung einer geometrischen Reihe zurückgeführt.

07.11.2010, 14:18

Hilfsbedürftiger

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RE: Wahrscheinlichkeitsfunktion/Erwartungswert

Zitat:

Original von Huggy
Gesucht ist

$\begin{eqnarray*} E(X)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}i2^{(-1-i)}=\sum\limits_{i=0}^{\infty}i(\frac{1}{2})^{i+1} \end{eqnarray*}$

Um die Differentialrechnung anwenden zu können, wird statt 1/2 ein allgemeiner Faktor q betrachtet. Es sei:

$\begin{eqnarray*} S(q)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}iq^{i+1} \end{eqnarray*}$

Man hat dann

$\begin{eqnarray*} E(X)=S(\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

Nun gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{\infty}iq^{i+1}=q^2\sum\limits_{i=0}^{\infty}iq^{i-1}=q^2\frac{d}{dq}\sum\limits_{i=0}^{\infty}q^i \end{eqnarray*}$

Damit ist das Problem auf die Ableitung einer geometrischen Reihe zurückgeführt.

Hey, danke! Ich verstehe zwar nicht ganz alles, aber darauf kann man aufbauen! Vielen Dank!

Etwas anderes, das ich noch wissen müsste: Gibt es irgendwelche Kriterien, die Wahrscheinlichkeitsfunktionen erfüllen müssen? Oder wie muss ich an eine Aufgabe rangehen, in der gefragt wird für welche c zum Beispiel folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion existiert: p(i) = i * c für i = -1; 0; 1,

07.11.2010, 14:24

René Gruber

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Naja, die Gesamtwahrscheinlichkeit (= Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten p(i)) sollte schon genau gleich 1 sein. Und außerdem müssen die p(i) alle nichtnegativ sein. In diesem konkreten Beispiel

Zitat:

Original von Hilfsbedürftiger
für welche c zum Beispiel folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion existiert: p(i) = i * c für i = -1; 0; 1,

ist das offenbar für kein c erfüllbar. unglücklich

08.11.2010, 17:25

Hilfsbedürftiger

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Zitat:

Original von René Gruber
Naja, die Gesamtwahrscheinlichkeit (= Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten p(i)) sollte schon genau gleich 1 sein. Und außerdem müssen die p(i) alle nichtnegativ sein. In diesem konkreten Beispiel

Zitat:

Original von Hilfsbedürftiger
für welche c zum Beispiel folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion existiert: p(i) = i * c für i = -1; 0; 1,

ist das offenbar für kein c erfüllbar. unglücklich

Hallo René. Danke für die rasche Antwort.

Die Möglichkeit, dass es für kein c möglich ist, wird auch ausdrücklich gewährt.
In diesem Beispiel wäre nun kein c möglich, da für jedes c der Wert von p(-1) negativ wäre. Habe ich das richtig verstanden?

Bei einem weiteren Beispiel
p(i) = 3 * (c^i) für i = 1; 2; ...
wäre die Bedigung der Nichtnegativität dagegen erfüllt.
Kannst du mir noch sagen, wie man das mit der Gesamtwahrscheinlichkeit zeigt?

08.11.2010, 18:13

René Gruber

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Zitat:

Original von Hilfsbedürftiger
In diesem Beispiel wäre nun kein c möglich, da für jedes c der Wert von p(-1) negativ wäre.

Ja - und außerdem ist die Summe der drei Werte immer gleich 0 statt der geforderten 1.

Zitat:

Original von Hilfsbedürftiger
p(i) = 3 * (c^i) für i = 1; 2; ...
wäre die Bedigung der Nichtnegativität dagegen erfüllt.
Kannst du mir noch sagen, wie man das mit der Gesamtwahrscheinlichkeit zeigt?

Es geht nicht um "zeigen": Hier ist es die Forderung "Gesamtwahrscheinlichkeit = 1", die überhaupt erst die Bestimmung von $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ermöglicht - Hinweis dazu: Geometrische Reihe.

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