Komplexe quadratische Funktion

06.11.2010, 17:58

Q-fLaDeN

Komplexe quadratische Funktion

Hey, wir haben in der LV jetzt mit komplexen Zahlen angefangen und sollen die quadratische Gleichung

$\begin{eqnarray*} z^2+z+2j-1 = 0 \end{eqnarray*}$

lösen.

Dann ist

$\begin{eqnarray*} z_{1,2} = -\frac 1 2 \pm \sqrt{\frac 5 4 - 2j} \end{eqnarray*}$

nur wie gehts weiter?

Kann man die Aufgabe auch lösen, wenn man z = a+jb setzt? Dabei find ich es ein bisschen komisch, dass man dann 2 unbekannte anstatt einer hat.
Ich muss mich erstmal in das Thema reinfinden..

06.11.2010, 18:11

corvus

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RE: Komplexe quadratische Funktion
Komplexe quadratische Funktion unglücklich

Zitat:

Original von Q-fLaDeN

$\begin{eqnarray*} z^2+z+2j-1 = 0 \end{eqnarray*}$

nur wie gehts weiter?

Kann man die Aufgabe auch lösen, wenn man z = a+jb setzt?
Dabei find ich es ein bisschen komisch, dass man dann 2 unbekannte anstatt einer hat.
.

$\begin{eqnarray*} z^2+z+2j-1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (z+\frac{1}{2} )^2 = \frac{5}{4} -2j \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w^2 = a \end{eqnarray*}$

Varianten:

1) arbeite mit der Exponentialform (oder der trigonometrischen Darstellung) weiter

2) wenn man z = a+jb setzt? du bekommst dann für deine zwei Variablen
auch ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen..

.

06.11.2010, 18:23

Q-fLaDeN

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Ja war in eifer, meinte schon Gleichung...

Achja stimmt, denn es gilt ja

$\begin{eqnarray*} a+jb = 0 \Leftrightarrow a = b = 0 \end{eqnarray*}$

aber damit rechnet man hier ganz schön rum, also Variante 1.

$\begin{eqnarray*} (z+\frac{1}{2} )^2 = \frac{5}{4} -2j \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{a^2+b^2} \cdot e^{i\phi}+\frac{1}{2} )^2 = \frac{5}{4} -2j \end{eqnarray*}$

Wie berechne ich aber $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ wenn ich nicht weis, welche Bedingungen a und b erfüllen? Und welchen Vorteli soll ich daraus ziehen, wenn die Gleichung in der Form $\begin{eqnarray*} w^2 = a \end{eqnarray*}$ geschrieben ist verwirrt

06.11.2010, 18:43

corvus

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN

aber damit rechnet man hier ganz schön rum, also Variante 1. smile

$\begin{eqnarray*} (z+\frac{1}{2} )^2 = \frac{5}{4} -2j \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{a^2+b^2} \cdot e^{i\phi}+\frac{1}{2} )^2 = \frac{5}{4} -2j \end{eqnarray*}$ nein, nicht so

Und welchen Vorteli soll ich daraus ziehen,
wenn die Gleichung in der Form $\begin{eqnarray*} w^2 = a \end{eqnarray*}$ geschrieben ist verwirrt

$\begin{eqnarray*} a = \frac{5}{4} -2j \end{eqnarray*}$ in trigonometrischer Form:

$\begin{eqnarray*} a= | a |\cdot \left(\cos(\alpha +2k\pi ) +j\cdot \sin(\alpha +2k\pi )\right) \end{eqnarray*}$ ........... (k=0,1,...)

kannst du Betrag a und Argument a (Winkel) zu a ausrechnen?

dann ist
$\begin{eqnarray*} w = \sqrt{| a |} \cdot \left(\cos(\frac{\alpha +2k\pi}{2} ) +j\cdot \sin(\frac{\alpha +2k\pi}{2} )\right) \end{eqnarray*}$

und wenn du w kennst, dann hast du auch z= w - 1/2 ... für k= 0 , 1 ..

ok?

06.11.2010, 19:09

Q-fLaDeN

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Ah ok.

$\begin{eqnarray*} |a| = \frac{\sqrt{89}}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha = \arctan (\frac{-8}{5}) = -1.01 \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} w = \frac{\sqrt{\sqrt{89}}}{2} \cdot \left(\cos(\frac{-1.01 +2k\pi}{2} ) +j\cdot \sin(\frac{-1.01+2k\pi}{2} )\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = \frac{\sqrt{\sqrt{89}}}{2} \cdot \left(\cos(\frac{-1.01 +2k\pi}{2} ) +j\cdot \sin(\frac{-1.01+2k\pi}{2} )\right) - \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

verwirrt

06.11.2010, 19:44

corvus

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.
und warum machst du da schon schlapp?

Beispiel für k=0 :

$\begin{eqnarray*} w_1 = \frac{\sqrt{\sqrt{89}}}{2} \cdot \left(\cos\left( \frac{302,0055..}{2}\right)° + j\cdot \sin\left( \frac{302,0055..}{2}\right)°\right) <br /> \end{eqnarray*}$

kannst du das nun wieder schlicht in der Form w=u+vj notieren verwirrt

und dann noch z1= w - 1/2 herausfinden?
.

kleine Anmerkung noch:
hier hast du ja Glück gehabt, denn..
es ist nicht ganz unproblematisch, den arctan zu verwenden
(statt arccos und arcsin ) .. klar warum?

.

07.11.2010, 14:00

Q-fLaDeN

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Warum hast du das dann ins Gradmaß umgewandelt?

$\begin{eqnarray*} w_1 = \frac{\sqrt{\sqrt{89}}}{2} \cdot \cos\left( \frac{302,0055..}{2}\right)° + j \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{89}}}{2}\sin\left( \frac{302,0055..}{2}\right)° \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1 = \frac{\sqrt{\sqrt{89}}}{2} \cdot \cos\left( \frac{302,0055..}{2}\right)° -\frac 1 2+ j \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{89}}}{2}\sin\left( \frac{302,0055..}{2}\right)° \end{eqnarray*}$

Dann komm ich auf

$\begin{eqnarray*} z_1 = -1,843 + j \cdot 0,7444 \end{eqnarray*}$

Wie komm ich dann zu $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$ ?

07.11.2010, 14:43

corvus

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Warum hast du das dann ins Gradmaß umgewandelt?
..warum nicht in Grad .. finde, man sieht das im Einheitskreis etwas besser.. smile

Dann komm ich auf

$\begin{eqnarray*} z_1 = -1,843 + j \cdot 0,7444 \end{eqnarray*}$
wird hoffentlich stimmen

Wie komm ich dann zu $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$ ?

z2 bekommst du, wenn du oben für k=1 einsetzt ..
und so dann den zweiten möglichen Winkel erhältst..

nebenbei: für k=3 usw..bekommst du wieder z2

ok?

07.11.2010, 20:33

Q-fLaDeN

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Gut dann dürfte ich das jetzt erstmal verstanden haben, danke! Gibt es noch andere Möglichkeiten solche Gleichungen zu lösen? (Mal abgesehen von z = a+ib setzen)

07.11.2010, 23:45

corvus

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Zitat:

Original von Q-fLaDeN
Gibt es noch andere Möglichkeiten solche Gleichungen zu lösen?
(Mal abgesehen von z = a+ib setzen)

hm..manch einfache quadratische Gleichung könnte
vielleicht durch schlichte geometrische Konstruktion
(Stichworte: Winkelhalbierung ; Streckung, ..) "gelöst"
werden ..
aber ob du das meinst? smile

Nun, auch beim Standardprogramm mit der Normalformdarstellung
empfehle ich dir , nicht sofort mit z=x+iy loszulegen,
.
sondern die quadratische Gleichung durch quadr. Ergänzung zuerst
in die Form w^2 = a+bi zu bringen .. (siehe Beispiel oben)
und dann mit w=u+iv weiter zu arbeiten ...
also das im Prinzip immer gleiche Gleichungssystem für u und v zu lösen.
usw..usw..

ok?

08.11.2010, 09:08

Q-fLaDeN

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Ok!

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