Komplexes Wegintegral berechnen - Residuum?

06.11.2010, 18:02

Sebastian1

Komplexes Wegintegral berechnen - Residuum?

Hallo,

ich muss folgends Integral lösen:

$\begin{eqnarray*} \int_\gamma \! \frac{1}{1-z^2} \, dz \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \gamma :[0,1]->C, t->2\sin(2\pi t) + i2\sin(4\pi t) \end{eqnarray*}$ .

Also ich hab mir folgendes gedacht: Die Kurve umläuft zwei isolierte singuläre Punkte (1,0) und (-1,0) und sonst nur Punkte die im Definitionsbereich des Integranden liegen. Somit muss ich den Residuensatz anwenden (Cauchysatz funktioniert in diesem Fall nicht, da die Kurve eben singuläre Punkte umläuft, oder?). Nun habe ich versucht das Residuum um p=1 zu berechnen, indem ich eine neue Integrationskurve wähle:

$\begin{eqnarray*} a(t)= p+r*e^{it2\pi } \end{eqnarray*}$ . mit Definitionsbereich [0,1]

Das entsprechende Residuum lautet dann:

$\begin{eqnarray*} Res= \frac{1}{2i\pi } \int_0^1 \! f(a(t))a'(t) \, dt \end{eqnarray*}$ Wobei f eben wieder die zu integrierende Funktion ist...

Aber irendwie ist da der Wurm drinnen. Ich erhalte ein nicht trivial zu integrierendes Integral, außerdem hängt das ganze noch von r ab, was ja eigentlich nicht sein dürfte, solange r klein genug ist, sodass die Kurve keine weiteren Singularitäten als p einschließt.

Kann mir jemand erklären was ich falsch mache bzw wie ich an die Aufgabe rangehen muss.

Danke für eure Hilfe,
Sebastian

06.11.2010, 20:07

Abakus

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RE: Komplexes Wegintegral berechnen - Residuum?
Hallo!

Hast du einmal an PBZ gedacht?

Grüße Abakus smile

07.11.2010, 11:48

Sebastian1

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Hallo!

Danke für deinen Tip! Ich hab das mal ausprobiert und festgestellt, dass es mir leider nicht wirklich weiterhilft. Einer der beiden Brüche fällt zwar bis auf eine Konstante weg, im zweiten hab ich dann aber sowas wie e^x/(1+e^x). Kannst du mir da vielleicht auch einen Tip geben wiedas einfach zu integrieren ist?

MfG
Sebastian

07.11.2010, 12:16

Abakus

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Kannst du es mal hinschreiben? Eigentlich sollten sich die Residua da einfach ablesen lassen. Du hast den Residuensatz zur Verfügung, oder?

Grüße Abakus smile

07.11.2010, 12:26

Leopold

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Zitat:

Original von Abakus
die Residua

Hoppla, ein Altphilologe! Respekt

, daß du sich so etwas heutzutage traust ...

07.11.2010, 15:29

Sebastian1

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also das Residuum der Singularität p=1 lautet wie folgt:

$\begin{eqnarray*} Res = \frac{1}{2\pi i}\int_0^1 \! (i\pi +\frac{ri2\pi e^{it2\pi }}{4+2re^{it2\pi }} \,) dt \end{eqnarray*}$

Wenn ich mein Skript richtig verstanden habe besagt der Residuensatz, dass das gesuchte Integral gleich der Summe der Residua (:-)) über alle Singularitäten dividiert durch i2Pi ist. Ich müsste also das obige Integral berechnen und das entsprechende Residuum für die Singularität bei p=-1..

MfG
Felix

07.11.2010, 17:26

Abakus

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Das sieht kompliziert aus, geht jedoch einfach. Zunächst brauchst du wirklich die PBZ. Dann werfe einen Blick auf die Definition des Residuums:

Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} U \setminus {a} \end{eqnarray*}$ holomorph mit

$\begin{eqnarray*} f(z) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}~c_k \cdot (z - a)^k \end{eqnarray*}$ ,

so heißt die komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} c_{-1} \end{eqnarray*}$ das Residuum von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ,

geschrieben $\begin{eqnarray*} Res(f, a) \end{eqnarray*}$ oder auch $\begin{eqnarray*} res(f, a) \end{eqnarray*}$ .

Diese Definition hast du genauso?

Wenn du nun die PBZ genau anschaust, kannst du die Residua demnach bereits mit genauen Blick ausgucken.

Grüße Abakus smile

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