Hypergeometrische Identitäten, Gauss

06.11.2010, 18:24	frischfisch	Auf diesen Beitrag antworten »
Hypergeometrische Identitäten, Gauss Hey, ich hoffe das ist das richtige Unterforum. Bin mir gerade nicht ganz sicher. Nicht böse sein falls nicht... Also ich muss demnächst einen Seminarvortrag halten in dem es um Hypergeometrische Reihen geht und wie man sie vereinfachen sein. Dabei soll ich Gauss's $\begin{eqnarray} _{2}F_{1} \end{eqnarray}$ Identität beweisen. Sie besagt, dass wenn Re(c-a-b) größer Null, dann gilt: $\begin{eqnarray} F \left[a,b;c;1\right] = \frac{\Gamma \left(c\right) \Gamma \left(c-a-b\right) }{\Gamma \left(c-a\right) \Gamma \left(c-b\right) } \end{eqnarray}$ Nun heißt es in dem Buch dass ich als Quelle benutzen soll: Durch Koeffizientenvergleich von $\begin{eqnarray} x^n \end{eqnarray}$ lässt sich leicht zeigen, dass für $\begin{eqnarray} 0\leq x < 1 \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} c(c-1-(2c-a-b-1)x) F \left[a,b;c;x\right] + (c-a)(c-b)x F \left[a,b;c+1;x\right] = c(c-1)(1-x) F \left[a,b;c-1;x\right] \end{eqnarray}$ Das bekomme ich beim besten Willen nicht so raus. Ich habe jetzt schon 5mal nachgerechnet und es klappt einfach nicht. Liege ich falsch oder etwa Gauss?? Ich weiß, dass: $\begin{eqnarray} F \left[a,b;c;z\right] = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{\left(a\right)_k \left(b\right)_k }{k! \left(c\right)_k } z^k \end{eqnarray}$ Wenn ich nun ein Gleichungssystem aufstelle: $\begin{eqnarray} u \cdot F \left[a,b;c;x\right] + v \cdot F \left[a,b;c+1;x\right] = w \cdot F \left[a,b;c-1;x\right] \end{eqnarray}$ Die Summenschreibweise einsetze und mir die Terme für k=0 anschaue, dann ergibt sich die Gleichung u+v = w Diese ist mit den oben gegebenen Faktoren nicht erfüllt. Auch die Gleichung die ich bei k=1 erhalte wird nicht erfüllt. Wenn ich die Gleichungen, die ich für k=0, k=1 und k=2 zusammen als Gleichungssystem betrachte erhalte ich als einzige mögliche Lösung u=v=w=0 Ich hab echt schon mehrfach drüber geschaut und einiges auch mit dem Computer nachgerechnet. Es passt einfach nicht. Naja, ich gebe das Gleichungssystem dass ich so erhalten habe mal noch an: $\begin{eqnarray} u+v=w \quad;\quad \frac{u}{c} + \frac{v}{c+1} = \frac{w}{c-1} \quad;\quad \frac{u}{(c+1)c} + \frac{v}{(c+2)(c+1)} = \frac{w}{c(c-1)} \end{eqnarray}$ Was Gauss da gerechnet hat wird doch wohl schon mal jemand nachgerechnet haben... Mache ich etwa einen so groben Denkfehler? Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

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