Beweis einer Potenzrechenregel

06.11.2010, 19:10

hnky

Beweis einer Potenzrechenregel

hallo,

diese aufgabe beschäftigt mich zur zeit:

Zitat:

Zeige, dass für alle $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x,y\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \geq y \end{eqnarray*}$ die folgende abschätzung gilt:
$\begin{eqnarray*} |a^x-a^y| \leq \begin{cases} a^{x+1}|x-y|, & a \geq 1 \\ a^{y-1}|x-y|, & a\leq 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Hinweis: Benutze:
1) für $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \geq 1, x\in \mathbb R_+ \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} 0\leq a^x-1 \leq xa^{x+1} \end{eqnarray*}$ und
2) für $\begin{eqnarray*} a\in (0,1], x\in \mathbb R_+ \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} 0\leq 1-a^x \leq xa^{-1} \end{eqnarray*}$

ich weiß zur zeit gar nicht, wie ich an diese aufgabe heran gehen soll.

wir haben $\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$ definiert als $\begin{eqnarray*} a^x:=sup(\{a^p|p \in \mathbb Q,0<p\leq x\}) \end{eqnarray*}$ , doch wie genau ich das auf diese aufgabe anwenden kann, sehe ich noch nicht.

kann mir jemand einen tipp geben, wie ich an diese aufgabe heran gehen muss?

danke schonmal im voraus.

06.11.2010, 19:41

Abakus

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RE: Beweis einer Potenzrechenregel
Hallo!

Fange mit dem ersten Fall an und klammere $\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$ aus. Dann schaue auf deine Voraussetzungen.

Grüße Abakus smile

06.11.2010, 21:31

hnky

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danke für den tipp.

ich versuche mal, den umzusetzen:

$\begin{eqnarray*} a^{x+1}|x-y| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =xa^{x+1}+ya^{x+1} \end{eqnarray*}$

im ersten fall ist $\begin{eqnarray*} |a^x-a^y|\leq xa^{x+1}-ya^{x+1} \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

$\begin{eqnarray*} xa^{x+1}-ya^{x+1} \end{eqnarray*}$

jetzt müsste ich doch den ersten hinweis benutzen können. demnach folgt damit dann:

$\begin{eqnarray*} xa^{x+1}-ya^{x+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \geq a^x-1 -(a^y-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =a^x+a^y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =|a^x|+|a^y| \end{eqnarray*}$ und mit der dreiecksungleichung:
$\begin{eqnarray*} \geq |a^x+a^y| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \geq |a^x-a^y| \end{eqnarray*}$

den hinweis kann ich allerdings nur benutzen, wenn $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb R_+ \end{eqnarray*}$ sind.

muss ich demnach noch den fall $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb R_- \end{eqnarray*}$ betrachten?

06.11.2010, 23:55

Abakus

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Ich wollte andersrum anfangen, Startpunkt ist die linke Seite der Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} |a^x - a^y| = a^y \cdot |a^{x-y} - 1| \le~... \end{eqnarray*}$

Jetzt geht es mit der Voraussetzung, angewendet auf $\begin{eqnarray*} a^{x-y} - 1 \end{eqnarray*}$ weiter.

Klar, es geht sicher auch rückwärts. Für $\begin{eqnarray*} a \ge 1 \end{eqnarray*}$ ist immer $\begin{eqnarray*} a^x \ge 0 \end{eqnarray*}$ .

Grüße Abakus smile

07.11.2010, 10:57

hnky

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ob man hinten oder vorne anfängt, ist ja prinzipiell egal, denke ich.

dann versuch ich mich mal am zweiten fall:

zu zeigen ist also : $\begin{eqnarray*} |a^x-a^y| \leq a^{y-1}|x-y| \end{eqnarray*}$

mir fällt es leichter, wenn ich hinten anfange:

$\begin{eqnarray*} a^{y-1}|x-y| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =xa^{y-1}-ya^{y-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =a^{-1}(xa^y-ya^y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} xa^ya^{-1}-ya^ya^{-1} \end{eqnarray*}$

jetzt kann ich den zweiten hinweis benutzen:

$\begin{eqnarray*} \geq 1-a^{xa^y}-(1-a^{ya^y}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =a^{ya^y}-a^{xa^y} \end{eqnarray*}$

an diesem punkt komme ich allerdings nicht mehr weiter. habe ich einen fehler gemacht, oder sehe ich einfach nur den nächsten schritt nicht?

lg

07.11.2010, 12:31

Abakus

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Zitat:

Original von hnky
ob man hinten oder vorne anfängt, ist ja prinzipiell egal, denke ich.

Ich finde es natürlicher von links anzufangen, die Idee mit dem Ausklammern kommt auch vom der linken Seite der Ungleichung.

Zitat:

zu zeigen ist also : $\begin{eqnarray*} |a^x-a^y| \leq a^{y-1}|x-y| \end{eqnarray*}$

mir fällt es leichter, wenn ich hinten anfange:

$\begin{eqnarray*} a^{y-1}|x-y| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =xa^{y-1}-ya^{y-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =a^{-1}(xa^y-ya^y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} xa^ya^{-1}-ya^ya^{-1} \end{eqnarray*}$

jetzt kann ich den zweiten hinweis benutzen:

$\begin{eqnarray*} \geq 1-a^{xa^y}-(1-a^{ya^y}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =a^{ya^y}-a^{xa^y} \end{eqnarray*}$

an diesem punkt komme ich allerdings nicht mehr weiter. habe ich einen fehler gemacht, oder sehe ich einfach nur den nächsten schritt nicht?

Ich behaupte mal, dass du andersrum mehr siehst.

Es ist:

$\begin{eqnarray*} |a^x - a^y| = a^y \cdot |1 - a^{x-y}| \leq a^y \cdot (x - y) \cdot a^{-1} \end{eqnarray*}$

Wobei du hier noch für x und y ggf. geeignete Voraussetzungen wegen dem Betrag machen musst (Fallunterscheidung oder Begründung usw.).

Grüße Abakus smile

10.11.2010, 21:06

hnky

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hallo,

entschuldige bitte die verspätete antwort, hatte in den letzten tagen leider keine zeit mehr.

ich habe mir nocheinmal einige gedanken zu der aufgabe gemacht:

der fall $\begin{eqnarray*} a \geq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R_+ \end{eqnarray*}$ ist klar, dank deiner hilfe.

doch was ist mit $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R_- \end{eqnarray*}$ ?

damit erhielte ich ja $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{a^x} - a^y| \end{eqnarray*}$

wenn ich das ganze nun auf den selben hauptnenner bringe, erhalte ich
$\begin{eqnarray*} \frac{1-a^{x+y}}{a^x} \end{eqnarray*}$

hier darf ich allerdings nicht den zweiten hinweis benutzen, weil $\begin{eqnarray*} a \geq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R_- \end{eqnarray*}$ .

nun stelle ich mir diese fragen:
muss ich diesen fall überhaupt betrachten?
wenn ja, wie mache ich das?

ich hoffe, dass du mir noch einmal helfen kannst smile

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