Borelmenge

13.11.2006, 21:49

kaiser456

Borelmenge

Sei (X,m) ein messbarer Raum und sei f:X---->IR Zeigen Sie:

f ist genau dann messbar, wenn $\begin{eqnarray*} f^{-1}(B) \in m \end{eqnarray*}$ für jede Borelmenge B Teilmenge von IR.

Rückrichtung: $\begin{eqnarray*} \{x\in X|f(x)>\alpha\}=f^{-1}(\alpha,\infty)\in m \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} (\alpha,\infty) \end{eqnarray*}$ Borelmenge ist.

Bei der Hinrichtung hab ich keinen Plan.

13.11.2006, 21:53

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RE: Borelmenge

Zitat:

Original von kaiser456
f ist genau dann messbar, wenn $\begin{eqnarray*} f^{-1}(B) \in m \end{eqnarray*}$ für jede Borelmenge B Teilmenge von IR.

Ich wüsste nicht, was es hier noch zu zeigen gibt: Das ist exakt die Definition der Messbarkeit für eine Funktion $\begin{eqnarray*} (X,m)\to (\mathbb{R},\mathbb{B}) \end{eqnarray*}$ .

13.11.2006, 22:01

kaiser456

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RE: Borelmenge
Bei uns ist die Definition von Messbarkeit für eine Funktion:

Sei (X,m) ein messbarer Raum und sei f:X---->IR quer
f heißt messbar falls
$\begin{eqnarray*} \{x\in X|f(x)>\alpha\}\in m \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

13.11.2006, 22:11

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Das erklärt natürlich einiges, dann habt ihr wohl sofort mit Borelmessbarkeit angefangen statt vernünftigerweise erst mal die Messbarkeit von Funktionen zwischen beliebigen, allgemeinen Messräumen zu betrachten. Dann ist deine Definition einer Messbarkeit eine Folgerung in einem Spezialfall...

Nun gut: Dann definierst du eben zunächst ein Mengensystem $\begin{eqnarray*} \mathbb{M} \end{eqnarray*}$ aller derjenigen Teilmengen $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} f^{-1}(M)\in m \end{eqnarray*}$ gilt. Aufgrund der Eigenschaften dieser Umkehrabbildung $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ kannst du nachweisen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{M} \end{eqnarray*}$ eine Sigma-Algebra ist. Außerdem weißt du, dass $\begin{eqnarray*} (\alpha,\infty)\in \mathbb{M} \end{eqnarray*}$ gilt, also auch die davon erzeugte Sigma-Algebra:

$\begin{eqnarray*} \sigma(\{ (\alpha,\infty) \bigm| \alpha\in\mathbb{R} \}) \subseteq \sigma( \mathbb{M}) = \mathbb{M} \end{eqnarray*}$

Und links steht nichts anderes als die Borel-Sigmalgebra $\begin{eqnarray*} \mathbb{B} \end{eqnarray*}$ .

13.11.2006, 22:24

kaiser456

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Dass $\begin{eqnarray*} \mathbb M \end{eqnarray*}$ eine Sigma-Algebra ist sollte man im a)-Teil zeigen. Das hab ich also schon. Dass $\begin{eqnarray*} (\alpha,\infty) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \mathbb M \end{eqnarray*}$ gehört gilt nach Vorraussetzung. Das seh ich auch ein.
Aber ab "also auch die davon erzeugte Sigma-Algebra:..." raff ich es nicht mehr.

13.11.2006, 22:27

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Wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ irgendein Mengensystem ist, dann bezeichnet $\begin{eqnarray*} \sigma(A) \end{eqnarray*}$ die kleinste Sigma-Algebra, die $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ enthält - das habt ihr doch gehabt, oder? Das nennt man auch die "von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ erzeugte Sigma-Algebra".

Und wie man leicht sehen kann, ist diese Operation monoton: D.h., aus $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \sigma(A)\subseteq \sigma(B) \end{eqnarray*}$ . Mehr hab ich dort nicht benutzt!

13.11.2006, 22:32

kaiser456

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Danke jetzt hab ichs gecheckt. Kannst du mir hier Maßtheorie einfache Beweise bei der e) noch helfen?

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