lineare Abbildung, Basis und Dimension eines kerns / reguläre matrix

06.11.2010, 23:30

numi

lineare Abbildung, Basis und Dimension eines kerns / reguläre matrix

Meine Frage:
Hallo liebe Matheboard-Community

Ich habe hier 2 Aufg. bei der ich mir nicht sicher bin ob die Lösung so richtig ist.

Bei der 1 aufg. muss man die Basis und Dimension des Kerns $\begin{eqnarray*} ker\left(\gamma\right) \end{eqnarray*}$ der linearen abbildung
$\begin{eqnarray*} \gamma : \mathbb R^3 \Rightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \gamma \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 - x_2\\ x_2 - x_3 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Bei der 2. Aufg. muss ich rausfinden für welche reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ die Matrix $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} a & 2 \\ 2 & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ regulär ist.

Meine Ideen:
Meine Lösung zu der 1 aufg wäre:
$\begin{eqnarray*} ker\left(\gamma \right) :=\left\{x=\left(x_1,x_2,x_3\right)^t \in \mathbb R^3 : \gamma \left(x\right)= 0\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> ker\left(\gamma \right) = \begin{pmatrix} x_1 - x_2 \\ x_2 - x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ker\left(\gamma \right)= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ weil es sich evt um eine triviale lösung handelt und dementsprechend ist die Basis $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und die dimension ist = 1
Ist das so richtig?
zu 2
Hab ich es über die Determinante versucht $\begin{eqnarray*} det\left(A\right) \neq 0 \equiv A \end{eqnarray*}$ ist regulär.
$\begin{eqnarray*} det\left(A\right) = det \begin{pmatrix} a & 2 \\ 2 & a\end{pmatrix} = 2a-4 \end{eqnarray*}$

also könnte doch für a alle reellen zahlen in betracht kommen außer 2 und -2 oder?
gibt es eine möglichkeit es auch über den Rang einer matrix diese aufg zu lösen?

wäre für hilfe dankbar

06.11.2010, 23:40

lgrizu

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RE: lineare Abbildung, Basis und Dimension eines kerns / reguläre matrix
zur 1. aufgabe:

du hast das bild von $\begin{eqnarray*} \gamma (\vec{0}) \end{eqnarray*}$ ausgerechnet.

berechne einmal die vektoren, für die gilt:

$\begin{eqnarray*} \gamma (\vec{x})=\vec{0} \end{eqnarray*}$

als tip:

der kern enthält dreidimensionale vektoren...

was jedoch richtig ist, nach dem dimensionssatz hat der kern die dimension 1......

zur 2. aufgabe:

die idee, das über die determinante zu machen ist okay, aber deine determinante ist falsch (die ergebnisse komischerweise richtig...):

$\begin{eqnarray*} det\left(A\right) = det \begin{pmatrix} a & 2 \\ 2 & a\end{pmatrix} = a^2-4 \end{eqnarray*}$ .

07.11.2010, 16:34

numi

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$\begin{eqnarray*} \gamma \left(\vec{x}\right) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow I. x_1 - x_2 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II. x_2 - x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I. x_1=x_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II. x_2=x_3 \end{eqnarray*}$

dürfte der Kern also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein?

und die basis $\begin{eqnarray*} b=\left(x_1,x_2,x_3\right) \end{eqnarray*}$ ?

07.11.2010, 16:38

lgrizu

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Zitat:

Original von numi
$\begin{eqnarray*} \gamma \left(\vec{x}\right) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow I. x_1 - x_2 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II. x_2 - x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I. x_1=x_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II. x_2=x_3 \end{eqnarray*}$

dürfte der Kern also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein?

und die basis $\begin{eqnarray*} b=\left(x_1,x_2,x_3\right) \end{eqnarray*}$ ?

die basis ist falsch, eine basis, und diese ist zum beispiel $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

07.11.2010, 17:01

numi

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achso verstehe vielen dank smile

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