Lineare Abhängigkeit im Vektorraum

07.11.2010, 12:04

cornrock

Lineare Abhängigkeit im Vektorraum

Hallo !

Hier die Frage

Sei $\begin{eqnarray*} ( V, +, K) \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ und seien $\begin{eqnarray*} M , M' \subseteq V \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie:

a) Ist M linear unabhängig und $\begin{eqnarray*} M' \subseteq M \end{eqnarray*}$ , dann ist auch M' linear unabhängig.

b) Ist M linear abhängig und $\begin{eqnarray*} M \subseteq M' \end{eqnarray*}$ , dann ist auch M' linear abhängig.

_______________

Meine Ideen dazu:

a) Linear unabhängig bedeutet, dass alle Koeffizienten null sein sollen... Wenn also die Menge M 0 ist, so muss die Teilmenge davon auch 0 ergeben.

b) Hier dürfte der Fall dann genau andersrum sein, wenn also M' linear abhängig ist, also die Koeffizienten nicht 0 gesetzt werden müssen um den Nullvektor rauszubekommen, und M dieses mal eine Teilmenge davon darstellen soll, dann müsste ist M ebenfalls linear abhängig

07.11.2010, 12:11

Elvis

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Das ist die Idee. Ordentlich formuliert ist das der Beweis. smile

07.11.2010, 12:13

Iorek

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RE: Lineare Abhängigkeit im Vektorraum

Zitat:

Original von cornrock
a) Linear unabhängig bedeutet, dass alle Koeffizienten null sein sollen... Wenn also die Menge M 0 ist, so muss die Teilmenge davon auch 0 ergeben.

So wie du es schreibst, ist das falsch, Koeffizienten von was? Und die Menge ist sicherlich nicht 0.

Hier bietet sich ein Widerspruchsbeweis an, nimm an, dass $\begin{eqnarray*} M' \end{eqnarray*}$ linear abhängig ist und folgere dann daraus, dass auch $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ linear abhängig sein muss.

Bei der b) sollst du ja gerade zeigen, dass $\begin{eqnarray*} M' \end{eqnarray*}$ linear abhängig ist. Du verdrehst in deinen Erläuterungen die Aussage. Fang mit einer linear abhängigen Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ an, verwende deinen Ansatz mit der Linearkombination des Nullvektors und übertrag das dann auf die Obermenge $\begin{eqnarray*} M' \end{eqnarray*}$ .

(Im Prinzip ist das ein einziger Beweis, den du für beide Aussagen verwenden kannst, nur die Begründungen müssen ein klein wenig abgeändert werden Augenzwinkern

).

Edit: Wobei sich die erste Aussage auch direkt beweisen lässt, deine Idee geht da in die richtige Richtung, du solltest es halt nur ordentlich aufschreiben.

07.11.2010, 12:43

cornrock

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Also, ich versuch es nochmal vernünftig aufzuschreiben:

a)
Wenn M linear unabhängig ist, also für die errechnung des Nullvektors alle Koeffizienten 0 gesetzt werden müssten, so muss M' ebenfalls linear unabhängig sein.

Bsp:
M = (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0) und (0,0,0,1) = lin. unabhängig

M' Teilmenge davon, also M'=(1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1) = lin. unabhängig

...

Wäre das ordentlich genug ? Oder wie muss ein "ordentlicher" Beweis dafür aussehen ?

07.11.2010, 12:49

Iorek

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Nein, damit hast du nur die Behauptung für das angegebene Beispiel gezeigt. Nimm dir eine linear unabhängige Teilmenge $\begin{eqnarray*} M=\{v_1,\dots v_m\}\subseteq V \end{eqnarray*}$ , was kannst du dann über die Koeffizienten sagen, wenn du den Nullvektor linear kombinieren willst? Wie sieht jetzt eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} M'\subset M \end{eqnarray*}$ aus, was kannst du für diese Vektoren also sagen, wenn du den Nullvektor linear kombinieren willst?

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